74、数字识别和签名验证中的傅里叶变换

数字识别和签名验证中的傅里叶变换

1 数字变换的概念

在信号或图像的处理中，若不采用传统的时间或空间描述方式，而是使用其他描述方法，往往能更好地理解其信息内容或恢复部分信息。需要强调的是，时间或空间描述是由现象的物理特性决定的。因为信号是随时间产生的，所以在时间参考系中获取和描述信号是合适且不可避免的；同理，图像占据物理空间，自然可以用欧几里得参考系来描述。

数学为我们提供了以不同方式描述信号或图像的工具。尽管这些工具看似复杂，但大多只是参考系的改变，也就是线性变换。理解上的困难通常源于我们处理的是多维甚至无限维的空间。实际上，为了使新的信号或图像描述有效，从信息角度来看，它至少要和原始描述一样完整，即在从第一种描述转换到第二种描述时不丢失任何信息。

在数学中，我们用表示系统的完备性来说明一个集合中的所有元素都可以用该系统来描述。同样，我们用两个系统的等势性来说明能用第一个系统描述的所有元素的集合等于能用第二个系统描述的所有元素的集合。与元素描述改变相关的两个基本问题是：一是以简单方式表征允许进行不同表示的元素；二是确定变换的方式。一般来说，那些能被不同系统很好表示的元素集合，是通过连续性、周期性、绝对可积性等一般性质来表征的。而变换有不同的类型，它们取决于我们要变换的元素的性质或我们想要突出的元素的特定属性。

2 三角函数的正交归一系统

上一节提到的完备性问题，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和斯通（Stone）解决。他们将其视为一个密度问题，并定义了一个低代数在实（和复）、连续且在紧空间中定义的函数集合中稠密的条件。他们著名的“魏尔斯特拉斯 - 斯通定理”的一个重要推论表明，系数在向量半赋范空间 G 中的三角多项式集合