75、数字识别与签名验证中的傅里叶变换

数字识别与签名验证中的傅里叶变换

在数字识别和签名验证领域，傅里叶变换发挥着重要作用。本文将介绍离散傅里叶变换（DFT）的计算方法，以及如何利用傅里叶系数描述数字，进而实现数字识别系统。

1. 时间抽取算法（DIT）

时间抽取算法（Decimation in Time Algorithm，DIT）是一种快速傅里叶变换（FFT）算法。假设序列 $x(n)$ 有 $N = 2^\beta$ 个元素（$\beta$ 为自然数），将其拆分为两个子序列：
- $x_1(n) = x(2n)$，$n = 0, 1, \cdots, N/2 - 1$，由 $x(n)$ 的所有偶数索引元素组成。
- $x_2(n) = x(2n + 1)$，$n = 0, 1, \cdots, N/2 - 1$，由 $x(n)$ 的所有奇数索引元素组成。

设 $X(k)$、$X_1(k)$、$X_2(k)$ 分别为 $x(n)$、$x_1(n)$、$x_2(n)$ 的离散傅里叶变换（DFT），则有：
[
X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)W_N^{nk} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1} x(2n)W_N^{2nk} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{N-1} x(2n + 1)W_N^{(2n+1)k} = X_1(k) + W_N^k X_2(k)
]

通过这种方式，将 $N$ 点序列的 DFT 计算转化为两个 $N/2$ 点 DFT 的计算，计算成本从 $N^2$ 降低到 $N^2/2$。具体计算分为两部分：
- 当 $k = 0, 1, \cdots, N/