33、基于公共向量的人脸识别算法解析

基于公共向量的人脸识别算法解析

1. 公共向量与差异向量

对于任意特征向量 $x$，公共向量 $x_{common}$ 可表示为：
$x_{common} = x - x^*$

公共向量可通过协方差矩阵 $C_x$ 对应零或非零特征值的特征向量来确定。需注意，公共向量不包含对应非零特征值方向的信息，且与协方差矩阵对应非零特征值的所有特征向量正交。它对于每个类别是唯一的，包含了该类别的所有公共不变特征。

对于第 $i$ 类样本，差异向量 $x_{i_{diff}}$ 定义为样本与第 $i$ 类公共向量的差值：
$x_{i_{diff}} = x_{i_{sample}} - x_{i_{common}}$

公共向量对应协方差矩阵的零特征值，包含了类别的不变特征；而差异向量保留了特征向量沿协方差矩阵对应非零特征值特征向量的所有分量，包含了更多个体内部变化的细节。在人脸识别中，使用差异向量替代原始人脸图像进行识别。

2. 核主成分分析（KPCA）

KPCA 是一种利用核方法将线性 PCA 推广到非线性情况的方法。其思路是先将原始输入向量 $x_p$ 映射到高维特征空间 $\Phi(x_p)$，然后在 $\Phi(x_p)$ 中计算线性 PCA。假设映射后的观测值是中心化的，即：
$\sum_{p=1}^{M} \Phi(x_p) = 0$

特征空间中的协方差矩阵为：
$\Sigma = \frac{1}{M} \sum_{p=1}^{M} \Phi(x_p) \Phi(x_p)^T$

对应的特征值问题为：
$\lambda \mu =