等比矩阵求和-POJ3233-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/d12155214552/article/details/77726277

这篇博客介绍了如何解决POJ3233问题，即给定一个n×n矩阵A和正整数k，求A、A^2、...、Ak的和。文章提出了当k为偶数或奇数时的求和公式，并指出直接使用快速幂会导致超时。解决方案是利用公式优化，将时间复杂度降低，以适应10^9规模的数据。

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https://vjudge.net/contest/182427#problem/B

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10^9) and m (m < 10^4). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1
Sample Output

1 2
2 3
Source

POJ Monthly–2007.06.03, Huang, Jinsong

如果k为偶数，那么(A+A^2+….A^K) = (A+…+A^K/2)+A^K/2*(A+…+A^K/2)
如果k为奇数，那么(A+A^2+….A^K) = (A+…+A^K/2)+A^K/2*(A+…+A^K/2)+A^k

S(k)=A+A^2+……+A^k
偶数: S(k)=S(k/2)+S(k/2)*A^(k/2)
奇数: S(k)=S(k/2)+S(k/2)*A^(k/2)+A^k;

直接用快速幂计算需要O（n）的时间，10^9的数据会超时
通过上面的公式解决超时问题

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,k,mod;
struct Matrix
{
    int a[35][35];
};
Matrix m,unit;
Matrix add(Matrix x,Matrix y)//矩阵加法
{
    Matrix ans;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            ans.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%mod;
        }
    return ans;
}
Matrix multi(Matrix x,Matrix y)//矩阵乘法
{
    Matrix ans;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            for(int k=0; k<n; k++)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
        }
    return ans;
}
Matrix mqmod(int l)//快速幂
{
    Matrix p,q;
    p=m,q=unit;
    while(l)
    {
        if(l&1)q=multi(q,p);
        p=multi(p,p);
        l>>=1;
    }
    return q;
}
Matrix matrixsum(int k)//利用公式递归求解
{
    if(k==1)return m;
    Matrix temp,tnow;
    temp=matrixsum(k/2);
    tnow=mqmod(k/2);
    temp=add(temp,multi(temp,tnow));
    if(k&1)//奇数的时候多加上A^k
        temp=add(mqmod(k),temp);
    return temp;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod);

    int q;
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            scanf("%d",&q);
            m.a[i][j]=q%mod;
            unit.a[i][j]=(i==j);//如果i==j那么矩阵中此值就是1,否则为0,就是主对角线是1的单位矩阵
        }
    Matrix ans;
    ans=matrixsum(k);
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n-1; j++)
            printf("%d ",ans.a[i][j]);
        printf("%d\n",ans.a[i][n-1]);
    }
    return 0;
}