最大连续子数组问题(python3实现)

关于最大连续子数组问题,即求一个给定数组中和最大的一个连续子数组的和。
我们这里用动态规划的思想来解决这个问题。
我们以s[i]记为以a[i]为结尾的数组和中的最大子数组
则此时我们可以得到s[i+1] = max(s[i]+a[i+1] , a[i+1])
接下来,我们举例进行说明。假设有个数组如下
a 2 -3 -4 9 10
sum[i] (前i项和) 2 -1 -5 4 14
根据上述递推关系式
s[0] = a[0] = 2 = s[0]
s[1] = max(-1, -3) =  -1 = s[1]
s[2] = max(-5,-4) = -4 = a[2]
此时起点应该变更为a[2] ,
s[3] = max(4,9) = 9 = a[3]
此时起点应该为以a[3] 然后依次进行。


此时我们对上述的动态规划式子还可以进行一个优化。对于s[i+1] = max(s[i]+a[i+1] , a[i+1])
我们知道,当s[i]<0时,s[i]+a[i] < a[i]恒成立,而s[i]>0时,s[i]+a[i] > a[i]恒成立
于是我们又有了新的递推式,用于简化刚才的计算。我们依然用上述例子说明
a 2 -3 -4 9 10
sum[i] (前i项和) 2 -
### 解决最大连续子数组问题动态规划算法 #### 定义与背景 最大连续子数组问题是寻找给定整数数组中的具有最大和的连续子数组。此问题可以通过多种方式求解,而采用动态规划的方法能够有效地降低时间复杂度至线性级别O(n)[^1]。 #### 状态转移方程 为了应用动态规划来解决问题,定义`dp[i]`表示以第i个位置结束的最大连续子数组之和,则状态转移方程如下: \[ dp[i] = \begin{cases} nums[i],&\text{if}\ i=0 \\ max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]),&\text{otherwise} \end{cases} \] 这里的关键在于理解如果前一项加上当前项能带来更大的总和就继续累加;反之则重新开始一个新的子序列[^2]。 #### 边界条件 初始化时设置第一个元素作为初始的最大值即`res=nums[0]`,因为至少要包含一个元素形成子数组[^4]。 #### Python代码实现 下面是基于上述思路编写的Python版本解决方案: ```python def max_subarray_sum(nums): if not nums: return 0 current_max = global_max = nums[0] for num in nums[1:]: current_max = max(num, current_max + num) if current_max > global_max: global_max = current_max return global_max ``` 这段代码实现了对输入列表`nums`遍历的同时维护两个变量:一个是记录到目前为止所见的最佳结果(`global_max`),另一个是在考虑当前位置之前所能获得的最大累积和(`current_max`)。每当访问新元素时都会决定是否将其加入现有路径或是开启一条新的路径,并相应调整这两个变量之一或两者皆调[^3]。
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