第4章《分治策略》：最大子数组问题，python实现

最大子数组问题

问题：求解一个数组中最大之和的连续子数组
思路：分治策略求解算法，算法复杂度 $O(nlgn)$
分析：数组$A[low,high]$（假设mid是数组A的中间位置）的任何连续子数组$A[i..j]$所处的位置必然是以下三种情况之一：

• 完全位于子数组$A[low..mid]$中，因此 $low\le i\le j\le mid$
• 完全位于子数组$A[mid+1..high]$中，因此 $mid\le i\le j\le high$
• 跨越了中点，因此$low\le i\le mid<j\le high$
  
  我们可以递归的求解$A[low..mid]$和$A[mid+1..high]$的最大子数组问题，因为这两个子问题仍然是最大子数组问题，剩下的全部工作是先需要寻找跨越中点的最大子数组问题，然后在三种情况中选取和最大者。
  任何跨越中点的子数组都由两个子数组$A[i..mid]$和$A[mid+1..j]$组成，其中$low\le i\le mid$ 且 $mid<j\le high$，因此我们只需要找出$A[i..mid]$和$A[mid+1..j]$的最大子数组，然后将其合并即可。
  

python实现如下：

# -*-coding:utf8 -*-
import sys
#存放初始化中的最小值
mins = -sys.maxsize

#跨越中点的子数组求解
def find_max_cross_subarray(A, low, mid, high):
	left_sum = mins
	sums = 0
	# [low, mid]区间，low-1才可以取到low值
	for i in range(mid, low-1, -1):
		sums+=A[i]
		if sums > left_sum:
			left_sum = sums
			max_left = i
	right_sum = mins
	sums = 0
	#[mid+1, high]区间，high+1才可以取到high值
	for i in range(mid+1, high+1):
		sums+=A[i]
		if sums > right_sum:
			right_sum = sums
			max_right = i
	return (max_left, max_right, left_sum + right_sum)

def find_max_subarray(A, low, high):
	if low == high:
		return (low, high, A[low])
	else:
		mid = (low+high) / 2
		mid = int(mid)
		(left_low, left_high, left_sum) = find_max_subarray(A, low, mid)
		(right_low, right_high, right_sum) = find_max_subarray(A, mid+1, high)
		(cross_low, cross_high, cross_sum) = find_max_cross_subarray(A, low,mid, high)
		#在三种情况中选取和最大者，返回最大子数组索引值以及子数组和
		if left_sum >= right_sum and left_sum >= cross_sum:
			return (left_low, left_high, left_sum)
		elif right_sum >= left_sum and right_sum >= cross_sum:
			return (right_low, right_high, right_sum)
		else:
			return (cross_low, cross_high, cross_sum)


if __name__ == "__main__":
	A = [13, -3, -25, 20, -3, -16, -23, 18, 20, -7, 12, -5, -22, 15, -4, 7]
	low, high, sums = find_max_subarray(A,0,len(A)-1)
	print(A)
	print(A[low:high+1])
	print(str(low)+'\t'+str(high)+'\t'+str(sums))