一、极限与连续

参考文献

高昆轮 2019考研数学
张宇 1000题

说明

【数字+字母+数字】表示1000题的索引，如【2B4】表示第2章 B组 第4题
【例+数字】为讲义的例题

一、极限的定义

1.邻域的概念

2.极限的定义

单侧极限

需要分别求左右极限的情形：

• 分段函数的分段点处
• $e^{\infty }$
• $\arctan \infty$

二、极限的一般性质

1.唯一性

2.局部有界性

研究开区间有界，分别将左区间的右邻域和右区间的左邻域求极限，若都存在，则有界

3.局部保号性

在某点上取到极值，某点的邻域导数
填空题：题目的核心不一定在题目上，也可能在选项上。如选项中都出现极值，大概率是考导数。

三、极限的运算性质

$\exists$:极限；连续；可导

$\exists$	$\pm$	不$\exists$	=	不$\exists$
不$\exists$	$\pm$	不$\exists$	=	不定
$\exists$	$\times$	不$\exists$	=	不定
不$\exists$	$\times$	不$\exists$	=	不定

【例4】先在选项中确认是哪两个的关系，然后找到它们之间的关系，然后按照上面的判断。

四、极限的存在性质

1.夹逼定理

题目类型：函数极限
描述：分子和分母都是变量（会动）
解决：分子累加，分母固定（前最大后最小）
1）固定分母
$$\frac{分子之和}{最大分母}\le 夹\le \frac{分子之和}{最小分母}$$
放缩
2）- 单调有界准则（它的在第三章有详细的描述）
单调性问题
1）数学归纳法
单调
有界
极限
给定$x_1$先单调，再有界，后极限；否则先有界，单调，极限。
注意：单调用k不用n
【例6】

五、无穷小

1.无穷小的定义

2.无穷小的比较

高阶无穷小：分母的阶数更高一些

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直接给出函数$f(x)$
同阶无穷小【B1、3】
高阶无穷小【A18】【B2、10】
k阶无穷小【B4、6、11、16、17】
等价无穷小【A17】【B5、12】

无直接给出函数$f(x)$
【A10】【B7、14】

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3.无穷小的性质

无穷小乘以有界仍是无穷小（单独考察在求极限，填空题求极限，抓大头【例7】）
$$\ln x^{\alpha }\ll x^{\beta }\ll a^x$$

4.极限与无穷小的关系

函数极限和数列极限

• 求函数的极限
  求函数极限，重点要知道是$\frac{什么}{什么}$，然后选方法（等价代换，化简，洛必达等）

$\frac{0}{0}$	等价代换	洛必达	泰勒公式
$\frac{\infty }{\infty }$	等价代换	分子分母同除最大量
$0\cdot \infty$	化为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$	对数、反三角作分子	（$\infty$变为0或0变为$\infty$）
$\infty -\infty$	通分（分式差）	有理化（根式差）	倒代换（没分母）化$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$
$0^0,{\infty }^0$	$\lim u(x{)}^{v(x)}\to$	$\lim e^{v(x)\ln u(x)}$
$1^{\infty }$	$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^A$	$其中A=\lim v(x)[u(x)-1]$	注释：在做1000题的时候用的是上面的公式

对于$\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty$等含$\infty$的，要将$\infty \to 0$,$\infty$转换为0
抓大头验证

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• 泰勒
  难记
  $$\begin{array}{rl}\cos x& =1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^2+o(x^2)\\ e^x& =1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

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函数极限解题步骤：

$\frac{0}{0}$型

1.先看是什么比什么$(如\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,1^{\infty }等)$
2.然后根据题目选择方法（上图）

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$1^{\infty }$型

【B组15（10、11、12、17）】
  将$\ln$（相同函数的之比），构造为等价代换$\ln (1+x)$

  如【B（10）】$\ln (\frac{\ln x-1}{\ln x+1})$【B12】$\ln \frac{\cos x}{\cos 2x}$
分别构造为$\ln (1+\frac{-2}{\ln x+1})$和$\ln (1+\frac{\cos x}{\cos 2x}-1)$

  反例【B11】$\ln \frac{\sin x}{x}$ 而$\sin x$和$x$为不同的函数，上面的方式不适用，直接展开即可

  特例【B17】也可直接构造等价代换

小结：$1^{\infty }$大部分都可用等价代换，如果等价代换后无意义（为0），那就不用等价代换。

需要注意的：若分子有两个可等价代换，拆分需保证存在性。

总结：$1^{\infty }$型大多数需要构造，特征：$1^{\infty }$型，对数复合函数，相同函数之比，
重点：有 ln 能否写出 1+ X

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题型比例：（由多至少）
$\frac{0}{0},1^{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty$

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• 求数列的极限

1. n项和：

解题方法有：先求和（裂项相加）、夹逼定理、定积分定义

裂项相加：拆分通项，相加
【例19】

夹逼定理：找老大老小，没有老大设老大，设完老大作老小
【例20、21】
【2B4】与【例21相同】

2. 证明题或求极限：（一般会给出递推公式）

解题方法：单调有界准则（单调有界则存在极限）

$$\begin{array}{l}单调:X_{n+1}-X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n}\\ 有界:X_n\end{array}\}\Rightarrow 极限$$

到底是先单调还是先有界：给定$x_1$先单调，否则先有界

(i) 给定初始条件$x_1$:
【2A4】
【2B5、6】
这三题是一样的

先单调$(X_{n+1}-X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n})$,后有界$X_n$，收敛（极限存在）到常数A，求解A

有些题是先假设极限存在为A，根据通项求得A
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n=A$$，等价证明$$\underset{n\to \infty }{\lim }|X_n-A|=0$$
，然后不断缩放最后只剩下A和$x_1$，对其求极限得证。

(ii) 无初始条件$x_1$:
【例22】单调有界极限
【2C5（2）】有界单调极限

先有界$X_n$，后单调$(X_{n+1}-X_n或\frac{X_{n+1}}{X_n})$

其中证明有界会使用不等式关系

单调有界准则 总结：有$x_1$,单调有界极限；无$x_1$,有界单调极限

• 单调:$x_{n+1}-x_n$或者$\frac{x_{x+1}}{x_n}$
• 有界(此步较复杂，视情况而定)：不等式关系等,
  $$\frac{1}{2}\sqrt{a+b}\ge \sqrt{ab}$$
  $$\frac{1}{3}\sqrt{a+b+c}\ge \sqrt[3]{abc}$$
  极限：看上

六、连续与间断

左右极限和间断点

左右极限	都存在	第一类间断点
左右极限	至少一个不存在	第二类间断点
左右极限	存在且相等	可去间断点
左右极限	存在且不相等	跳跃间断点

$间断点f(x)\{\begin{array}{l}无定义点\{\begin{array}{l}{e}^{\infty }\\ \arctan \infty \end{array}\\ 分段点\end{array}$

分段函数一般是考间断点，在某点处的连续性，在某点处是否连续都是考间断点

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(给出分段函数)
间断点解题步骤：

【A6、11、12、13、19】
【B9、18、19、20、22】

  找到所有的无定义点和分段点，然后求极限，注意求极限需要分左右极限的三种情况：分段函数分段点处，$e^{\infty },\arctan \infty$

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（无分段函数）
【B8、21、23、24】考间断点却不直接给出分段函数，给的是极限函数 $\lim$ ，有两个变量，解题思路是根据极限函数得到分段函数，然后使用间断点解题步骤即可。

底数0到1，单调减，指数无穷大，趋于0
底数大于1，单调增，指数无穷大，趋于无穷

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七、连续函数的运算法则

八、闭区间上连续函数的性质

重点

• 有界性
• 最大值最小值定理
• 介值定理
  设$f(x)$在$[a,b]$上连续，介于$m$和$M$之间的任意数$\mu$，必$\exists \xi \in [a,b]$，使$f(\xi )=\mu$
  要一步步凑
• 零点定理
  设$f(x)$在$[a,b]$上连续，若$f(a)\cdot f(b)<0$，则$\exists \in (a,b)$，使$f(\xi )=0$
  翻译：两个端点的乘积小于0，说明函数穿过横轴，必然存在零点。

注意：闭区间连续，必须想到这两个定理