生成模型之高斯判别分析（GDA)和贝叶斯

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分类专栏：机器学习文章标签：机器学习生成模型高斯判别分析朴素贝叶斯贝叶斯

于 2023-06-04 15:04:51 首次发布

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本文探讨了生成模型与判别模型的区别。生成模型学习p(x|y)和p(y)，如高斯判别分析和朴素贝叶斯，而判别模型直接学习p(y|x)，如逻辑回归。生成模型试图构建输入和输出的联合分布，而判别模型关注输入到输出的映射。在分类问题中，这两种方法分别有不同的应用策略。

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生成模型与判别模型的区别

判别模型的学习算法学习给定x下的条件分布p(y|x; θ)，

例如，Logistic Regression（对数几率回归）将p(y|x; θ)建模为 $h_{\theta } = g(\theta ^{T}x)$ ，g是sigmoid函数。

考虑一个分类问题，基于动物的某些特征想要区分大象（y=1)和狗狗(y=0)。给定一个数据集，类似LR或者感知机的算法尝试找到一条直线（超平面），也就是决策边界，将大象和狗狗分开。然后，当新样本要将其分类为大象类和狗狗类时，只需要检查新样本落在决策边界的哪一边，然后再对新样本进行预测。

这篇博客要谈的是另外一类学习算法，与上面的方法不同，首先看大象，构建一个大象长什么样子的模型，然后看狗狗，构建一个狗狗长什么样的分离模型，最后当输入一个新动物时，将这个新动物与大象模型和狗狗模型分别进行匹配，看新动物是更像大象还是更像狗狗。

直接学习p(y|x)或者尝试学习到一个从输入空间到输出标签{0,1}的映射（例如感知机算法）的学习算法叫做判别学习算法，这样的模型叫做判别模型。

生成式学习算法与判别式算法不同，它尝试对p(x|y)和p(y)进行建模，例如，如果y表示一个样本是狗狗（y=0)或者大象（y=1），则p(x|y=0)对狗狗的特征分布进行建模，p(x|y=1)对大象的特征进行建模。

当建模了p(y)（类先验）和p(x|y)，可以使用贝叶斯公式导出给定x时y的后验分布：

$p(y|x) = \frac{p(x|y)p(y))}{p(x)}$

$p(x) = p(x|y=1)p(y=1) + p(x|y=0)p(y=0)$

预测的时候：

高斯判别分析模型（GDA)

当输入特征x是连续值的随机变量，可以使用高斯判别分析（Gaussian Discriminant Analysis, GDA)，GDA使用多维正态分布对p(x|y)进行建模，模型如下：

写成分布的形式：

模型的参数是 $\phi$ , $\sum$ , $\mu _{0}$ 和 $\mu _{1}$ ，均值向量不同，协方差矩阵相同。

对数似然：

通过最大似然估计其参数如下：

算法的分类效果如下：

使用两个高斯分布来拟合两个类的数据，这两个高斯的等高线有相同的形状和方向，因为它们的协方差相同。这两个高斯的均值不同。

朴素贝叶斯

在GDA中，特征向量x是连续的实数，当特征向量的值是离散时可以使用贝叶斯模型。例如，如果想使用机器学习做一个垃圾邮件过滤器，将邮件信息分类为垃圾广告邮件和非垃圾邮件。我们有一个训练集（带标签的数据），特征向量的长度等于词典的长度，如果一个邮件包含第j个单词，则这个特征设置为1；否则，设置为0。例如，一个样本邮件的特征向量如下：