归并排序详解(C++)/逆序数求解

一、归并排序原理

        归并排序（Merge Sort）是一种基于分治法的高效、稳定排序算法。其原理是将数组不断地分割成两个子数组，直到每个子数组只包含一个元素为止；然后逐步合并这些子数组，在合并的过程中进行排序，最终得到完全有序的数组。

二、归并排序标准代码

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{ 
	if (l >= r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r)
		if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
		else tmp[k++] = q[j++];
	while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
	while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
	for (int i = 0, j = l; j <= r; i++, j++) q[j] = tmp[i];
}

三、代码解析

1.

void merge_sort(int q[], int l, int r)

传入数组，以及所需排序的区间

2.

if (l >= r) return;

递归结束的条件

3.

int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

l + r >> 1相当于(l + r)/2向下取整；程序先归并再执行其于程序，将整个数组两份两份的往下分，直到只剩一个元素，然后接下来就是个数数1,1比较，1,1比较，...，比较后的两个数有序，然后个数数2,2比较，2,2比较，...，比较后的4个数依然有序，以此类推直到全部结果有序

4.

int k = 0, i = l, j = mid + 1;

设定变量，k 初始化，i , j 为两个指针，i 为开头，j 为中间位置，将数组分为两部分

5.

while (i <= mid && j <= r)
		if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
		else tmp[k++] = q[j++];

循环条件：i 和 j 都没超过各自的结尾，

循环程序；比较 q[i] 和 q[j]，将 i 和 j 所对应的数组元素较小的放入新数组 tmp,将放入新数组的指针+1指向下一个元素再次比较以此类推，最终会有一个指针结束而另一个指针有剩余

6.

while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];

将两个指针中有剩余的数组元素全部放进新数组，注意排序是从两个开始，举个例子，a 和 b 比较然后排序 ，c 和 d 比较后排序，然后排好的 ab 和排好的 cd 比较后排序，因此排序之前的两部分数组都是有序的，所以直接放入新数组

7.

for (int i = 0, j = l; j <= r; i++, j++) q[j] = tmp[i];

将数组 q 更新，注意我们是在 l 到 r 范围内排序的，所以将此部分更新，设定两个变量，j 从 l 开始到 r 结束

四、总结

        归并排序就是利用递归将整个问题精确到最小个数，再从小到大比较合并的过程

五、逆序数计算

1.代码

long long merge_sort(int q[], int l, int r)
{
	if (l >= r) return 0;
	int  mid = l + r >> 1;
	res=merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);//归并求和
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;//起始指针
	while (i <= mid && j <= r)//同时满足条件执行
		if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];//小的放新数组
		else tmp[k++] = q[j++],res += mid - i + 1;//j较小的话放入后逆序数为剩余i的数量
	while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];//剩余无法比较的放入新数组
	while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];
	for (int i = 0, j = l; j <= r; i++, j++) q[j] = tmp[i];//更新数组q
	return res;//返回值
}

2.解析

        在归并排序的基础上进行改造，首先函数变为有返回值的函数，因为 j 在 i 右边，所以当 j 放进新数组后，逆序数即为 i 数组中剩余的元素个数 mid - i + 1，再将递归函数加起来即可