C++逆序数（奇排列和偶排列的判定）

最新推荐文章于 2024-07-11 20:45:31 发布

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#C++ #算法 #逆序数

逆序数是判断排列性质的关键，奇数逆序数对应奇排列，偶数则对应偶排列。例如，序列53124的逆序数为6，故为偶排列。归并排序可用于优化逆序数计算，通过合并有序子序列时累加逆序数，达到O(n*log2(n))的时间复杂度。

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逆序数简介

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（这里规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。

而逆序数就是判定一个排列为奇排列还是偶排列的重点。如果逆序数为奇数，则此排列为奇排列，否则为偶排列。

举个例子，看53124这个序列，5在3前面，5在1前面，5在2前面，5在4前面，3在1前面，3在2前面，逆序数为6，故此排列为偶排列。

逆序数计算

如果直接模拟的话时间复杂度为On^2，但代码就简单的多了，可如果你想优化时间，那么就得使用到归并排序了。

注：如果你尚未学习过归并排序，可以浏览此网页来学习
https://blog.youkuaiyun.com/SkeletonKing233/article/details/100676151

而逆序数的计算在我们将两个子序列合并的时候累加就可以了。

举个例子，如果我们要将这两个子序列合并的话
1，4，6，7，9
2，3，5，10，13，21
当第一个序列枚举到第2个元素4，第二个序列枚举到第1个元素2时，4 > 2为逆序，我们需要进行累加，又因为两个子序列都是有序的所以如果4 > 2，那么第一个子序列从第2个元素4开始后面的所有数都必然比2大，所以让逆序数的值加上(mid - i + 1)，既从第2个元素到第5个元素中元素的个数。这样时间复杂度就减少为On * log2(n)级别的了。

# include <cstdio>
# include <iostream>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>
using namespace std;

# define FOR(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
# define _FOR(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)

const int NR =