四平方和

本文介绍了一种基于四平方和定理(拉格朗日定理)的算法实现,该定理指出任意正整数均可表示为最多四个整数平方和的形式。文章给出了一段C语言代码,用于找出一个给定正整数的所有可能表示形式,并输出最小的一组非负整数解。

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问题:

四平方和定理,又称为拉格朗日定理:

每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。

如果把0包括进去,就正好可以表示为4个数的平方和。

比如:

5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2

7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2

(^符号表示乘方的意思)

对于一个给定的正整数,可能存在多种平方和的表示法。

要求你对4个数排序:

0 <= a <= b <= c <= d

并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列,最后输出第一个表示法

程序输入为一个正整数N (N<5000000)

要求输出4个非负整数,按从小到大排序,中间用空格分开

例如,输入:

5

则程序应该输出:

0 0 1 2

再例如,输入:

12

则程序应该输出:

0 2 2 2

再例如,输入:

773535

则程序应该输出:

1 1 267 838

代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
    int a,b,c,d,judge=0;
    int n,ar[4]= {0},i,j,t;
    scanf("%d",&n);
    for(a=0; a<2300; a++)
        for(b=0; b<2300; b++)
            for(c=0; c<2300; c++)
                for(d=0; d<2300; d++)
                {
                    if(n==a*a+b*b+c*c+d*d&&judge==0)
                    {
                        judge=1;
                        ar[0]=a;
                        ar[1]=b;
                        ar[2]=c;
                        ar[3]=d;
                        for(i=0; i<4; i++)
                            for(j=0; j<4-1-i; j++)
                            {
                                if(ar[j]>ar[j+1])
                                {
                                    t=ar[j];
                                    ar[j]=ar[j+1];
                                    ar[j+1]=t;
                                }
                            }
                        for(i=0; i<4; i++)
                            printf("%d ",ar[i]);
                        printf("\n");
                    }
                }
    return 0;
}

运行结果:


小结:这是一种解决方法,但程序还有很大的优化空间。

### 实现平方和定理的Python代码 为了验证平方和定理,即任意自然数可以表示成最多个整数的平方之和,下面提供了一种通过穷举法来寻找符合条件的个整数的方法[^1]。 ```python #!/usr/bin/python3 # -*- coding: utf-8 -*- # @desc: 验证平方和定理 def find_four_squares(number): """ 查找给定自然数由个整数平方组成的组合。 参数: number (int): 用户输入的一个自然数 返回: tuple or None: 如果找到合适的个整数组合则返回该元组;否则返回None """ for x1 in range(int(number**0.5), -1, -1): for x2 in range(int((number-x1*x1)**0.5), -1, -1): for x3 in range(int((number-x1*x1-x2*x2)**0.5), -1, -1): x4 = (number-x1*x1-x2*x2-x3*x3)**0.5 if x4.is_integer(): return (x1, x2, x3, int(x4)) return None if __name__ == "__main__": try: num_input = int(input("请输入一个正整数:")) result = find_four_squares(num_input) if result is not None: print(f"{num_input}={result[0]}²+{result[1]}²+{result[2]}²+{result[3]}²") else: print("未找到满足条件的结果") except ValueError as e: print("输入错误,请确认您输入的是有效的正整数。") ``` 这段代码定义了一个`find_four_squares()`函数用于查找能够组成目标自然数n的最大可能值作为第一个变量x1,并依次减少直到最小可能性(-1),接着对于剩余部分继续尝试其他三个变量x2,x3,x4的可能性直至成功匹配或遍历结束。当找到了一组解时立即停止搜索并输出结果[^3]。
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