【深入浅出密码学】RSA

RSA密码体制

引言：

RSA加密的本意并不是为了取代对称密码，而且它比诸如AES的密码要慢很多，因为RSA当中涉及许多数学计算，RSA通常和类似AES的对称密码一起使用，真正用来加密大量数据的是对称密码。而RSA主要保护对称密码的密钥。

数学困难问题：RSA基于大整数分解难题

加密解密

RSA的加密和解密都是在整数环$Z_n$内完成的。假设RSA加密明文$x$，而表示$x$的位字符串则是Zn={0,1,...,n−1}Z_n=\{0,1,...,n-1\}Zn​={0,1,...,n−1}内的元素，所以明文$x$表示的二进制必然小于$n$。

$x,y,n,d$都是非常长的数字，通常为1024位或更长。值$e$有时称为加密指数或公开指数，私钥$d$有时称为解密指数或保密指数。如果Alice想将一个加密后的消息传送给Bob，她需要拥有Bob的公钥$(n,e)$，而Bob将用他自己的私钥$d$进行解密。

密钥生成与正确性检验

注：我们限定了$gcd(e,ph{i}_n)=1$那么私钥$d$，一定存在

这里我们可以借助扩展欧几里得算法求解私钥$d$
$$gcd(ph{i}_n,e)=1=s\ast ph{i}_n+t\ast e$$
此时，我们的参数$t$就是我们求解的私钥$d$.

$d=tmod(ph{i}_n)$

正确性证明：

快速指数运算

int qpow(int a, int n){
    int ans = 1;
    while(n){
        if(n&1)        //如果n的当前末位为1
            ans *= a;  //ans乘上当前的a
        a *= a;        //a自乘
        n >>= 1;       //n往右移一位
    }
    return ans;
}

借助CRT加速加解密

对于任意的$(m_1,m_2)$必然存在一个唯一的$m$,使得
$$\begin{gathered} m_1=mmod(p) \\ {m}_2=mmod(q) \end{gathered}$$
此时，可以把求解$c^{d}modn$的计算，转换成求解这个方程组。但是此时的$d$还是比较大，计算比较困难。

$d=k\ast (p-1)+r$,则$c^{d}modp=c^r\ast c^{k\ast (p-1)}modp=c^r\mathrm{mod}p$

其中$r=dmod(p-1)$,因此，$(c^d\mathrm{mod}p)$可以降解为$c^{(dmodp-1)}modp$

$(c^d\mathrm{mod}q)$可以降解为$c^{(dmodq-1)}modq$

素数检测

费马定理对于所有的素数成立如果$p$时一个素数，那么对于任意的$a$,都有$a^{p-1}=1modp$

如果，运算时$a^{p-1}modp\ne 1$,那么可以直接判断$p$是合数直接退出。

如果，满足$a^{p-1}=1modp$还需要不断变化$a$，多次检验