Dijkstra(迪杰斯特拉)最短路径算法

1 简介

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是非常经典的最短路径寻找算法，适用于加权图中寻找起点到终点的最短路径。

图是一种数据结构，包含节点和边。节点与节点之间通过边相连，加权图是指边上有权重，算法目标是寻找从起点到终点的一条路径，使得其中所有边的权重之和最小。

举例来说，我们要从北京开车导航到深圳，每一个城市都是节点，城市与城市之间的道路是边，道路的长短是边的权重。目标是规划一条路径，使得从起点到终点行驶的道路最短，查看经过了哪些城市。

2 原理

Dijkstra的核心思路就是：最短路径的子路径也最短。

假设最短路径的子路径不是最短，那么可以将此子路径替换为更短的子路径，替换后新的路径比最短路径还短。

通过分而治之找到所有最短子路径，最后连起来得到整体的最短路径。

算法需要维护几个数据：（1）每一步起点距离各节点当时最短的距离，以下称距离矩阵；（2）起点距离各节点当前最短距离对应的父节点，以下称父节点数据；（3）未完成集合和已完成集合。

算法流程图如下：

下面结合示例说明此过程

3 实例

求上图中A点到F点的最短路径。

第一步，A节点到自身是最短的，距离为0。将A放在已完成集合，并将A的父节点数据设置为A，表示从A节点走到当前节点的距离最短。查找A的邻居，分别为B和D，距离分别为3和4，其他点不相邻，距离为无穷大。

第二步，寻找当前距离矩阵最短的节点，为B点。此时A点到B点的最短距离就是3，因为假设有其他路径到达B点，比如A→X→B，A→X距离已经比A→B长了，再加上X→B的距离就更长了。需要做如下操作：

（1）将B移动到已完成集合，并标明B节点的父节点是A节点，表示经由A节点到B节点距离是最短的；

（2）查看B节点的邻居，包括C、D、E节点，更新距离矩阵。对于C来说，经由A→B→C的距离为3+8=11，前一步距离是∞，11<∞，因此更新距离为11，并设置C的父节点为B。对于D来说，经由A→B→C的距离为3+2=5，前一步距离是4,4<5，因此不更新距离。对于E来说同理，更新距离为8，设置父节点为B。

第三步，寻找当前距离矩阵最短的节点，为D点。此时4就是从A点到D点最短的距离。将D点移动到已完成节点集合。查看D点的邻居节点，已完成的B点不再考虑，因此只考虑E点。前一步距离为8，经由D点的距离为4+6=10,10>8，因此不更新距离。

第四步，寻找未完成节点中距离A最短的节点，为E。将E移动到已完成节点集合。查看E点的邻居节点，为C和F。经由E到C的最短距离是10，上一步距离是11，10<11，所以更新距离，并将C的父节点设置为E。经由E到F最短距离是13，上一步是∞，因此更新A到F的距离，并将F的父节点设置为E。

第五步，寻找未完成节点中距离A最短的节点，为C。将C移动到已完成节点集合。查看C点的邻居，为F。经由C到F的最短距离是10+7=17，大于前一步最短距离，因此不更新。

第六步，寻找未完成节点中距离A最短的节点，为F。将F移动到已完成节点集合。此时全部节点均完成，退出算法。

查找F的父节点为E，E的父节点为B，B的父节点为A，因此最短路径为A→B→E。这里每个子路径都是最短的，所以整体路径是最短的。

4 缺陷

此算法中的权重必须是非负的，因为每一步取距离矩阵中最短距离时，隐含了所有权重不能为负数的假设。如果有负数，假设取了距离矩阵最短的节点X，距离为10。有可能存在一个距离更长的节点Y，距离为12，但是后续Y点到X点的权重是-5，加起来为7，距离比10更短了，这样从起点到X点的最短距离就不是10了。