多重背包问题可行性问题O(V N) 算法

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本文介绍了两种解决背包问题的算法实现。第一种算法通过多维动态规划的方式判断能否从给定的不同数量的物品中选择一些使得总和等于目标值；第二种算法采用了一维动态规划方法进行优化。

问题：有n种不同大小的数字ai，每种各mi个。判断是是否可以从这些数字中选出若干个使他们的和为k。
算法一

#include<stdio.h>
int a[100],m[100];
bool dp[100][100];
int main()
{
    int n,w;
    scanf("%d%d",&n,&w);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i],&m[i]);
    dp[0][0]=true;
    for(int j=0;j<n;j++)
        for(int k=0;k<=w;k++)//这里可以像上一篇文章用二进制思想优化
            for(int i=0;i<=m[j]&&0<=k-i*a[j]&&i*a[j]<=k;i++)
                dp[j+1][k] |= dp[j][k-k*a[j]];
    puts(dp[n][w]?"Yes":"No");
    return 0;
}

这里写图片描述
《挑战程序设计竞赛》P63

算法二

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[1000],a[1000],m[1000];
int main()
{
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&a[i],&m[i]);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            if(dp[j]>=0)
                dp[j]=m[i];
            else if(j<a[i]||dp[j-a[i]]<=0)
                dp[j]=-1;
            else
                dp[j]=dp[j-a[i]]-1;
    puts(dp[k]>=0?"Yes":"No");
    return 0;
}