主成份分析图解

随机生成原始数据分布，共计300个点，服从正态分布。为了便于区分X方向和Y方向。使X方向服从均值为50，标准差为50的正态分布，Y方向服从均值为0，标准差为100的正态分布。

手动旋转$\theta=45$度。先构建旋转矩阵rot，可以在wiki中找到rot矩阵的定义

$$rot=[cos(\theta),-sin(\theta);sin(\theta), cos(\theta)]$$
然后执行选择操作，$X=rot*X$，得到旋转45度后的分布

到了求主成份的时候了。先求协方差矩阵$c=XX^T$。然后分解协方差矩阵，求得特征值$d$和特征向量$e$，这一步可以借用matlab的eig函数求解。特征向量$e$就是两个主成份方向，我们用$rotX=e*X$得到X旋转后主成份正交(???)时的分布形态。看，又旋转回来了。只不过X方向正负对调了。

启发：

1.主成份的特征向量可以起到旋转的作用；

2.在二维平面中，旋转矩阵其实就是新定义的两个特征向量的方向，不用死记，画个图就记住了。

怎样理解下图呢？先求X方向的变化，就把下面的矩形框中$cos\theta$和$-sin\theta$填到旋转矩阵的第一列中，然后把右边的矩形框中的$sin\theta$和$cos\theta$先到第二列中。

$$rot=[cos(\theta),-sin(\theta);\\ \space \space \space \space \space \space \space \space sin(\theta), cos(\theta)]$$
先记录X方向，再记录Y方向，所以填入矩阵的顺序是 $$cos(\theta),-sin(\theta),sin(\theta),cos(\theta)$$

这个图是偏理解，理解这个图之后，就记住旋转向量了，同时也就知道的特征向量的作用。