Conditional mutual information 条件互信息

主要参考wiki，
另外参考下面博客的联合熵部分的感性理解，对联合熵的描述非常形象生动。
http://blog.youkuaiyun.com/pipisorry/article/details/51695283

• 首先理解信息（I）的定义
  I 是衡量信息w的量，只和w发生的概率P(w)有关，认为

  $$I(w)=f(P(w))$$ 。
  并且满足公式 $$I(A,B)=I(A)+I(B) \\ P(A,B)=P(A)*P(B)$$
  若A,B是独立事件，那么AB同时发生的信息量是AB分别发生的信息量之和，而概率则是求乘积。
  那么满足公式的加法和乘法条件的$f(.)$就是$log(.)$函数了。
  所以定义$I(w)=-log(P(w))$
  详细展开：
  https://en.wikipedia.org/wiki/Self-information
  
  

• 熵Entropy（E）的定义
  熵就是信息的期望，所以要做一个$E(w)=P(w)*I(w)=-P(w)*log(P(w))$
  注意到当P(w)等于0时，由于在P(w)极限逼近0时，P(w)log(P(w))等于0，所以规定

  $$if: P(w)=0, \\then: P(w)log(P(w))=0$$
  
  

• joint entropy 联合熵
  描述一个变量集（这个集合包括X,Y）的不确定性。
  注意H(X,Y)理解为描述X和Y要用到的信息量，那么H(X,Y)包括要来描述X的H(X)+已知X要额外描述Y需要增加的H(Y|X)。而I(X;Y)可以理解为描述X和Y信息关联程度的量。
  换到图上，H(X,Y)是两个圆覆盖的总面积，I(X,Y)是重叠面积，H(X|Y)和H(Y|X)是两个圆互不交的地方。
  
  
  
  

• mutul information 互信息
  描述X和Y的之间的依赖程度。如果X和Y完全独立，那么$p(x,y)=p(x)p(y)$,则log(1)=0,最后的I(X;Y)=0，如果存在依赖，那么I能够描述出依赖的程度；
  
  
  

• 条件互信息
  在条件（Z）发生时的条件互信息
  
  

总结

• 信息I(w)=f(P(I(w)))
• 信息发生的概率P(I(w))
• 信息*概率=熵(其实就是信息的期望)
• f(.)=Klog(.)
• 优美的加法(I(w)之间)和乘法(P(I(w))之间)，他们的联系就是log,是log让他们直接加法变成了乘法。