hdu5072 Coprime | 2014鞍山赛区C题 | 容斥原理

最新推荐文章于 2018-09-24 22:33:00 发布

原创最新推荐文章于 2018-09-24 22:33:00 发布 · 2.8k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#容斥

真题专栏收录该内容

0 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种统计互不相同的n个数中有多少abc这样的组合，满足abc两两互质或者两两不互质的问题。通过将三元关系转化为二元关系的方法，使用枚举和快速统计技巧解决此问题。

感谢 http://dtyfc.com/acmblog/acm/980 的解题思路，“如果三个数a, b, c不符合条件，那么一定有一对是互质的，有一对是不互质的。不妨令a, b互质，b, c不互质。于是我们可以枚举b来统计答案。在除了b自己的所有数中，要么与b互质，要么与b不互质。假设n个数中有x个与b不互质的数，那么b对答案的贡献就是(x - 1) * (n - x)。注意这里的求出答案之后要除以2，这是因为如果a, c互质，那么可以交换b, c的位置；如果a, c不互质，那么可以交换a, b的位置，每个答案都被计算了两遍。”是我认为最精彩的地方,把题目的脑洞推向了高潮~~

这道题是要求互不相同的n个数中有多少abc这样的组合，满足abc两两互质或者两两不互质。三元关系很伤脑筋，转化为二元关系也许能简化问题（这里脑洞要慢慢打开了）。

由于数据范围不大10^5以内，总组合数C(n,3) longlong不会爆。abc两两互质和两两不互质，就对应着两个互质另两个不互质，这两个集合构成了全集U。不妨把前者称为集合A,后者称为集合B，那么A并B等于U，且A交B为空。U的大小为C(n,3)。

如果a，b，c不符合条件，必然有一对互质，一对不互质，不妨设a，b互质，b，c不互质，于是我们可以枚举b来统计所有的三元组：如果a，c互质那么这样的三元组中b，c可以互换位置；如果a，c不互质，那么a，b可以互换位置。每个答案被算了两遍。

所以只要枚举每个b，统计出k个和它不互质的，那么剩下n-1-k个就是和它互质的，那么三元组就有k*(n-1-k)/2种。

如果会快速统计1~n个数中有多少和b不互质的数，那么题目就差不多就做完了...

===================================================================

怎么快速统计不互质的数呢？

对于b不超过10^5，质因子的个数不超过6个（2*3*5*7*11*13 *17>10^5）。用状压搜索质因子组成的每个因数，如果某数是该因数的倍数，那么就说明该数和b是不互质的。利用容斥原理统计出与b不互质的数的综述。

由于数据范围不超过10^5，预处理筛除出每个质数和每个质因子，复杂度为nlogn。对于具体的n个数，再筛出在n个数中以他们为倍数的数的个数也是nlogn。(代码中用cntExtend[]记录)

==================================================

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 111111;

//filter prim
int prim[maxn],isprim[maxn];
int primnum=0;
void initprim(){
    memset(isprim,-1,sizeof isprim);
    isprim[0]=isprim[1]=0;
    prim[primnum++] = 2;
    for(int i=4;i<maxn;i+=2){
        isprim[i]=0;
    }
    for(int i=3;i<maxn;i+=2){
        if(isprim[i]){
            prim[primnum++]=i;
            for(int j=i+i;j<maxn;j+=i){
                isprim[j]=0;
            }
        }
    }
}

//get factor
int has[maxn];
int factor[maxn][6];
int factornum[maxn];
void getfactor(){
    for(int num=2;num<maxn;num++){
        int n=num,cnt = 0;
        for(int i=0;i<primnum;i++){
            if(isprim[n]) {
                factor[num][cnt++]=n;
                break;
            }
            if(n%prim[i]==0){
                factor[num][cnt++]=prim[i];
                while(n%prim[i]==0){
                    n/=prim[i];
                }
            }
        }
        factornum[num]=cnt;
    }
}

// count the number of factors of every number
int num[maxn],cntExtend[maxn];
void factorExtend(int len){
    memset(cntExtend,0,sizeof cntExtend);
    for(int i=1; i<maxn; i++){
        for(int j=i; j<maxn; j+=i){
            if(has[j])
                cntExtend[i]++;
        }
    }
}

//for every single factor in each number, find out how many numbers is not co-prime with it
LL solve(int len){
    LL re = 0;
    for(int i=0; i<len; i++){
        int n = num[i];
        if(n==1) continue;
        int facnum = factornum[n];
        LL sum=0;
        for(int k=(1<<facnum)-1; k>0; k--){
            int mul=1,b=0;
            for(int j=0; j<facnum; j++){
                if((1<<j) & k) {
                    mul*=factor[n][j];
                    b^=1;
                }
            }
            if(b){
                sum+=cntExtend[mul]-1;
            }else{
                sum-=cntExtend[mul]-1;
            }
        }
        re+=(sum)*(len-1-sum);
    }
    return re;
}

int main(){
//    freopen("data.in","r",stdin);
    int T,n,x;
    initprim();
    getfactor();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        memset(has,0,sizeof has);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&x);
            has[x]++;
            num[i]=x;
        }
        factorExtend(n);
        LL ans = (LL)n*(n-1)*(n-2)/6 - solve(n)/2;
        printf("%I64d\n",ans);
    }

}