HDU 2602 Bone Collector【01背包】

这是01背包经典题，也是曾经忘了又记，记了又忘的题目，写到优快云上方便回忆。

推荐可以看看b站的一个视频解释：https://www.bilibili.com/video/av36136952?from=search&seid=15709258507510969666

1.简介：

一共有N种不同的物品，每种物品有价值 v[ i ],和重量 w[ i ], 我的背包能承重V，希望能求得背包的最大价值。

2.思路（递归）：

（递归思想）：设F( i , j )代表前i个物品中，j个质量最多能带来多少价值。那么问题就来了，现在只讨论第 i 种物品，

①。先看剩余质量j 的大小，如果剩余背包的容量装不下第 i 个物品，即 j < w[ i ]，那么只能选择前i - 1个物品，(通俗的说也就是如果第 i 个物品的质量大于背包还能承重的质量，那么第肯定装不了第i个物品，只能装前 i - 1个。

//第i个物品的质量大于背包剩余的承重   那么第i个物品装不了，只能装前i-1个物品
if(j < w[i])
    F(i, j) = F(i-1, j)

②。如果第 i 个物品可以装在背包里，那么有两种选择，装还是不装，求出他们的最大值即可。

//装
F(i, j) = F(i-1, j-w[i]) + v[i];

//不装
F(i, j) = F(i-1, j)

③。有了上面的两步，我们就可以递归了。

刚接触固然不好理解，可以先看看递归的思想，如果理解了请看下面的情况：

3.思路（递推）：

做的算法多了就知道递归时间复杂度很高，见到的常常是都是2的N次幂级，所以可以用递推的方法，将每一步可能的情况推出来，这样下来复杂度就会在O(N²），将指数级转为多项式级。时间复杂度也大大减少，但同时也会带来空间的较大开销。

我们需要列出一个二维数组设为dp数组，它有N+1行，V+1列。N代表物品的种类，V代表背包的大小。

//1.初始化
memset(dp,0,sizeof(dp));

其次，根据递推公式对F( i , j)进行递推。

//2.递推公式
for(int i=1; i<=N; i++)
{
    for(int j=0; j<=V; j++)
    {
        if(j < w[i])    //如果第i个物品存不下,还是原来的容量，存前i-1个物品
            F(i, j) = F(i-1, j)
        else            //如果可以存下，那么选择存还是不存，然后求得最大值
                        //存：背包可承重减去w[i],质量加上v[i]，然后求前i-1种物品最大价值;
                        //不存：可承重不变,求前i-1个物品最大价值
            F(i, j) = max( F(i-1, j-w[i])+v[i],  F(i-1, j)  )

 4.代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[1001][1001];
int w[1001];
int v[1001];
int N, V;
int main()
{
    int kase;
    cin >> kase;
    while(kase--)
    {
        while(cin >> N >> V)
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));

            for(int i=1; i<=N; i++)
                cin >> v[i];
            for(int i=1; i<=N; i++)
                cin >> w[i];

            for(int i=1;i<=N;i++)
                for(int j=0;j<=V;j++)
                {
                    if(j<w[i])
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                    else
                        dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }
            cout << dp[N][V] << endl;
        }
    }
    return 0;
}

5.注意：

本题有一个陷阱，即有背包可承重为0，且有重量为0，价值>0的物品，所以，for循环，第二次开始，j 要从0开始。