LC 53. 最大子序和（DP）+ LC 152. 乘积最大子序列 + LC 238. 除自身以外数组的乘积

最新推荐文章于 2025-04-20 12:17:12 发布

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本文深入探讨了三个经典动态规划问题：最大子序和、乘积最大子序列及除自身以外数组的乘积，提供了高效的算法实现，包括简化DP解决方案，帮助读者理解动态规划的基本思想与应用。

1、LC 53. 最大子序和（DP）

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

dp解决, O(N) TIME, O(N) SPACE


   public int maxSubArray(int[] nums) {
        //dp[i]记录包含nums[i]时，结果的最大值
        int[] dp=new int[nums.length];
        dp[0]=nums[0];
        int res=dp[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1],0)+nums[i];
            res=Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
   }

简化的DP解决方案, O(N) TIME, O(1) SPACE

这是一道非常经典的动态规划的题目，用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用，以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。

基本思路是这样的，在每一步，我们维护两个变量，一个是全局最优，就是到当前元素为止最优的解是，一个是局部最优，就是必须包含当前元素的最优的解。

接下来说说动态规划的递推式（这是动态规划最重要的步骤，递归式出来了，基本上代码框架也就出来了）。假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i]（因为local[i]一定包含第i个元素，所以不违反条件），但是如果local[i]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了当前一步的局部最优，那么全局最优就是当前的局部最优或者还是原来的全局最优（所有情况都会被涵盖进来，因为最优的解如果不包含当前元素，那么前面会被维护在全局最优里面，如果包含当前元素，那么就是这个局部最优）。

时间复杂度是O(n)
空间复杂度是两个变量（local和global），即O(2)=O(1)

 
    public int maxSubArray2(int[] nums) {
        int res=Integer.MIN_VALUE;
        int sum=0;//记录包含第i个数的，最大的值
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            sum=Math.max(sum,0)+nums[i];
            res=Math.max(res,sum);
        }
        return res;
    }

2、LC 152. 乘积最大子序列

给定一个整数数组 nums ，找出一个序列中乘积最大的连续子序列（该序列至少包含一个数）。

示例 1:

输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

//152. 乘积最大子序列
    public int maxProduct(int[] nums) {
        int res = nums[0];
        //max记录的是，包含nums[i]的乘积的最大值，min同理
        int max = res, min = res;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>=0){
                max=Math.max(nums[i]*max,nums[i]);
                min=Math.min(nums[i]*min,nums[i]);
            }else{
                int temp=max;
                max=Math.max(nums[i]*min,nums[i]);
                min=Math.min(nums[i]*temp,nums[i]);
            }
            res=Math.max(res,max);
        }
        return res;
    }

3、LC 238. 除自身以外数组的乘积

给定长度为 n 的整数数组 nums，其中 n > 1，返回输出数组 output ，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

示例:

输入: [1,2,3,4]
输出: [24,12,8,6]

说明: 请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

//238. 除自身以外数组的乘积
    //左右累乘，巧妙记录每个元素的左右乘积，时间复杂度O(n),空间复杂度0(1)。
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        int left=1;
        int right=1;
        int[] res=new int[nums.length];

        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            res[i]=left;
            left*=nums[i];
        }

        for(int i=nums.length-1;i>=0;i--){
            res[i]*=right;
            right*=nums[i];
        }
        return res;
    }