红黑树原理（增加节点、删除节点、修改节点、查询节点）

最新推荐文章于 2025-09-02 10:47:34 发布
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#b树 #数据结构 #算法

本文详细介绍了红黑树的插入、删除和查找操作。在插入过程中，根据红黑树性质调整节点颜色和旋转；删除时，根据节点颜色和子节点情况处理，保持红黑树性质；查找遵循二分查找原则。示例展示了具体操作步骤和树结构变化。

目录

红黑树定义

 1. 节点颜色非红即黑
 2. 根节点颜色是黑色
 3. 叶子节点（空节点）颜色为黑色
 4. 红色节点的子节点（包括空节点）为黑色
 5. 某个节点下的所有路径，有相同的黑色节点（包括空节点（黑色））

在这里插入图片描述

红黑树增删改查演示地址：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html
示例数据：12,1,9,2,3,0,11,7,19,4,15,18,5,14,13,10,16,6,8,17

1. 红黑树增加节点过程

 增加一个节点，节点颜色默认为红色，对红黑树进行二分查找，对比，
 直至整个红黑树的叶子节点，确定当前节点插入红黑树的初始位置（插入节点
 初始位置为整个红黑树的叶子节点）

	1、判断插入节点是否为根节点，如果是根节点
		把当前节点置为根节点，并把颜色置为黑色
	2、判断父节点的颜色，如果父节点的颜色为黑色
		不用处理，不违反红黑树的性质
	3、父节点是红色，叔叔节点也是红色
		3.1、将父节点和叔叔节点设置为黑色，祖父节点设置为红色
		3.2、以祖父节点为插入节点，在进行判断
	4、父节点是红色，叔叔节点是黑色
		4.1、左左插入
			父节点变成黑色，祖父节点变成红色，祖父节点右旋
		4.2、左右插入
 	    	父节左旋，之后父节点就变成了子节点
	 	 	按照父节点为当前插入的红色节点，进行左左插入处理
		4.3、右右插入
			父节点变成黑色，祖父节点变成红色，祖父节点左旋
		4.4、右左插入
 	    	父节点右旋，之后父节点变成了子节点
 	    	按照父节点为当前插入的红色节点，进行右右插入处理

演示：
在这里插入图片描述
假如需要插入数字3，则查找节点，数字3的初始位置为 数字2 节点的右子树，如下图：
在这里插入图片描述
根据插入的判断条件，从第一条依次向下进行判断，符合4.3：父节点（数字2）是红色，叔叔节点（数字2 的左子节点空节点）为黑色（空节点）条件，右右的情况，父节点（数字2）变成黑色，祖父节点（数字1）变成红色，祖父节点（数字1）左旋，得到最终的结果，如下图：
在这里插入图片描述

2. 红黑树删除节点过程

总结：
	删除节点时，先看删除节点的颜色，再看兄弟节点的颜色，再看侄子节点的颜色（先看远侄子，再看近侄子）
最后看父节点的颜色
	当前节点->兄弟节点->远侄子节点->近侄子节点->父节点
	（补充）删除节点分两种情况，一种是叶子节点，一种不是叶子节点，如果不是叶子节点，进行和子节点值
的交换，直至节点没有叶子节点，变成删除叶子节点
	1、删除的是叶子节点，并且叶子节点为红色
		直接删除，不需要后续处理
	2、删除的是叶子节点，并且叶子节点为黑色
		需要处理
	3、删除节点下有一个子节点
		将当前删除的节点和子节点的值进行交换，就变成了删除叶子节点
		3.1、如果叶子节点是红色，对应情况1，直接删除
		3.2、如果叶子节点是黑色，对应情况2，进行后续处理
	4、删除节点有两个子节点
		将当前节点和后续节点中的一个节点值进行交换，改为删除叶子节点
		4.1、没有叶子节点
			对应情况1、2
		4.2、有一个叶子节点
			对应情况3
		4.2、有两个叶子节点
			对应情况4
	经过上述步骤的转换，将情况转换为删除叶子节点，其中叶子节点为红色的已经处理过，现在只需要考虑，
删除叶子节点为黑色的情况
	5、删除的叶子节点为黑色
		5.1、删除节点的兄弟节点为红色
			删除节点为左节点：
				将父节点和兄弟节点颜色互换，对父节点进行左旋
			删除节点为右节点：
				将父节点和兄弟节点颜色互换，对父节点进行右旋
		5.2、删除节点兄弟节点为黑色，远侄子节点为红色
			删除节点为左节点：
				这时删除节点的远侄子节点为兄弟节点的右节点
				将父节点和兄弟节点颜色对调，并把远侄子节点变成黑色，对父节点进行左旋
				删除当前需要删除的节点
			删除节点为右节点：
				这时删除节点的远侄子节点为兄弟节点的左节点
				将父节点和兄弟节点颜色对调，并把远侄子节点变成黑色，对父节点进行右旋
				删除当前需要删除的节点
		5.3、删除节点兄弟节点是黑色，远侄子节点是红色
			删除节点为左节点：
				近侄子节点和兄弟节点颜色互换，并将近侄子节点进行右旋
				这时候就变成了5.2情况
			删除节点为右节点：
				近侄子节点和兄弟节点颜色互换，将近侄子节点进行左旋
				这时候就变成了5.2情况
		5.4、父节点是红色，兄弟节点和兄弟节点的两个孩子（只能是空节点）都是黑色的情况
			将父节点变成黑色，兄弟节点变成红色
			删除当前节点
		5.5、父节点和兄弟节点及兄弟节点的两个子节点，都是黑色
			将兄弟节点变成红色，删除节点
			这样删除节点后，父节点的左右两个黑色节点数就相等了，但是经过祖父节点的路径黑色节点
			的数就少1个，这个时候，我们再以父节点为起始节点（不用删除节点了），继续根据情况进行
			平衡操作，在看是哪种情况，在进行对应的调整，这样一直向上，直到新的起始节点为根节点

示例：

初始红黑树结构如下图所示：
在这里插入图片描述
假如需要删除数字4，经过判断，满足 5.5、父节点（数字3）和兄弟节点（数字2）及兄弟节点的两个子节点（空节点），都是黑色，将兄弟节点（数字2）变成红色，并删除当前节点（数字4），如下图所示：
在这里插入图片描述
这时以父节点（数字3）为当前节点进行后续操作（不在删除数据），经过判断，满足5.2、删除节点兄弟节点为黑色，远侄子节点为红色，并且删除节点为左节点，将父节点（数字9）和兄弟节点（数字14）颜色对调，并把远侄子节点（数字18）变成黑色，对父节点（数字9）进行左旋，如下图所示：
在这里插入图片描述
至此，删除节点（数字4）流程完毕

3. 红黑树修改&查找节点过程

修改和查找节点过程相同，列举查找过程
1、以根节点进行和查找值进行对比
	1.1、等于当前值
		直接返回
	1.2、小于当前值
		以左节点为当前节点进行对比，重复情况1
	1.3、大于当前值
		以右节点为当前节点进行对比，重复情况1
2、当遍历到叶子节点，而且没有找到对应的值，则返回空
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前言红黑树是一种非严格平衡的二叉搜索树，由于其查找效率很快，并且插入新节点调整比AVL树更少，所以在STL容器map和set的底层都是通过红黑树来实现的。在看这篇文章之前建议先学习其中包括的以及，在这篇文章中不再重复红黑树的概念概念，是一种，但。通过从任何一条从跟到叶子的路径上各个节点着色方式的限制。红黑树，因而是的。1.每个节点不是红色就是黑色2.根节点是黑色3.如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的。
红黑树 被删除节点是红色 详细过程
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<think>红黑树中删除红色节点的过程相对简单，因为删除红色节点不会破坏红黑树的性质（尤其是黑色高度性质）。以下是详细步骤： ### 删除红色节点的过程 1. **定位节点**：首先找到要删除的节点。 2. **情况分析**： - **情况1：被删除节点是叶子节点（直接删除）**：如果该红色节点是叶子节点（即两个子节点都是NIL），则直接删除，不会影响任何红黑树性质。 - **情况2：被删除节点有一个子节点**：根据红黑树性质，红色节点不可能只有一个非NIL子节点（因为红色节点的两个子节点必须是黑色，而如果只有一个非NIL子节点，那么该子节点必须是黑色，但这样就会违反性质5，因为从该红色节点到叶子节点的路径中，经过子节点的路径会多一个黑色节点，而另一条路径（NIL）只有红色节点，然后就是黑色叶子节点，所以黑色高度不同）。因此，这种情况实际上不可能发生。 - **情况3：被删除节点有两个子节点**：此时需要找到后继节点（右子树的最小节点），用后继节点的值替换当前节点，然后删除后继节点。注意，后继节点要么是红色叶子节点，要么是一个黑色节点（此时需要按黑色节点删除处理）。 因此，真正需要处理的是情况1（叶子节点）和情况3（转化为删除后继节点，而后继节点可能是红色或黑色）。 ### 删除红色叶子节点的步骤 1. **直接删除**：将该节点从其父节点上移除（将父节点对应的指针设为NIL）。 2. **结束**：由于删除的是红色节点，不会影响黑色高度，也不会产生两个相邻的红色节点（因为删除的节点是红色，其父节点和子节点都是黑色，删除后父节点指向NIL（黑色），所以性质保持不变）。 ### 代码示例 以下为删除操作中处理红色节点的部分代码（基于之前的红黑树实现）： ```cpp bool Delete(const KEY& key) { RBTreeNode<KEY, VALUE>* z = find(key); if (z->isNIL()) return false; // 未找到 RBTreeNode<KEY, VALUE>* y = z; // y指向要删除的节点 RBTreeNode<KEY, VALUE>* x = nullptr; // x用于指向可能破坏平衡的节点 COLOR original_color = y->m_Color; // 情况1：被删除节点最多有一个非NIL子节点 if (z->m_pLeft->isNIL()) { x = z->m_pRight; // x可能是NIL（叶子节点）或一个黑色节点（如果z只有一个子节点，则z必须是黑色，且子节点为红色，但这里z是红色，所以不会进入？） transplant(z, z->m_pRight); } else if (z->m_pRight->isNIL()) { x = z->m_pLeft; transplant(z, z->m_pLeft); } else { // 情况2：有两个非NIL子节点，则找到后继节点（右子树的最小节点） y = minimum(z->m_pRight); original_color = y->m_Color; x = y->m_pRight; // 注意：后继节点y的左孩子一定是NIL，因为y是最小节点 if (y->m_pParent == z) { // 如果y是z的直接子节点 x->m_pParent = y; // 即使x是NIL，也要设置其父节点（这里NIL的父节点会被设置，但通常我们不使用NIL的父节点） } else { // 用y的右子树替换y（y的左子树一定为NIL） transplant(y, y->m_pRight); y->m_pRight = z->m_pRight; y->m_pRight->m_pParent = y; } // 用y替换z transplant(z, y); y->m_pLeft = z->m_pLeft; y->m_pLeft->m_pParent = y; y->m_Color = z->m_Color; // 保持z的颜色 } delete z; // 如果删除的是黑色节点，才需要调整（因为可能破坏性质5） if (original_color == COLOR::BLACK) { delete_fixup(x); } return true; } ``` ### 说明 - 当被删除节点`z`是红色时，`original_color`为`RED`，因此不会进入`delete_fixup`函数。 - 如果`z`是红色叶子节点，则直接进入第一个分支（左子节点为NIL，右子节点为NIL，所以x指向NIL），然后调用`transplant`将父节点指向该节点的指针改为指向NIL（黑色节点），删除结束。 - 如果`z`是红色节点且有两个子节点，那么我们会找到其后继节点`y`（注意：`y`一定是黑色？不一定，后继节点可能是红色吗？）。实际上，后继节点`y`可能是红色，也可能是黑色。但是，如果`y`是红色，那么它一定是叶子节点（因为如果它有左子节点，那就不是最小节点；而它作为后继节点，右子节点可能是NIL或非NIL，但如果是非NIL，那么最小节点应该是它的左子树中，所以`y`一定没有左子节点，而右子节点可能是NIL或非NIL？实际上，后继节点是右子树中的最小节点，所以它一定没有左子节点，但可能有右子节点。然而，在红黑树中，如果`y`是红色，那么它的两个子节点必须是黑色（NIL节点）。所以，如果`y`是红色，那么它一定是叶子节点（两个子节点都是NIL）。因此，当删除`y`时，因为`y`是红色，所以不会触发修正。 ### 重要注意点 - 在删除有两个子节点的节点时，我们实际上删除的是后继节点`y`（将`y`移动到`z`的位置，然后删除`y`）。因此，如果`y`是红色，那么删除`y`不会引起调整；如果`y`是黑色，则需要进行调整（通过`delete_fixup`）。 - 在代码中，我们记录的是后继节点`y`的原始颜色（`original_color`），如果这个颜色是黑色，那么删除后就需要调整。 ### 总结 删除红色节点时，如果该节点是叶子节点，直接删除即可；如果该节点有两个子节点，则实际上删除的是其后继节点（可能是红色也可能是黑色）。如果是删除后继节点且后继节点为红色，则直接删除后继节点（叶子节点）不会破坏红黑树性质。 §§相关问题§§: 1. 红黑树中删除黑色叶子节点的详细过程是怎样的？ 2. 在删除有两个子节点的节点时，为什么选择后继节点而不是前驱节点？ 3. 如何处理删除操作中出现的“双黑”问题？ 4. 红黑树删除操作的最坏时间复杂度是多少？</think>### 红黑树删除红色节点的详细过程 在红黑树中删除红色节点相对简单，因为不会破坏红黑树的核心性质（特别是黑色高度性质）。以下是详细的删除过程和代码实现： #### 删除红色节点的关键步骤 1. **定位节点**： - 找到要删除的目标节点 - 确认节点颜色为红色 2. **删除操作**： - 情况1：叶子节点（无子节点） - 直接删除 - 情况2：有一个子节点 - 子节点替换 - 情况3：有两个子节点 - 用后继节点替换 3. **性质维护**： - 红色节点删除不会改变黑色高度 - 不会产生连续红色节点问题 - 不需要旋转或颜色调整 #### 代码实现（C++） ```cpp bool Delete(const KEY& key) { // 查找目标节点 RBTreeNode<KEY, VALUE>* z = find(key); if (z->isNIL()) return false; // 节点不存在 // 记录原始颜色（红色） COLOR originalColor = z->m_Color; // 情况1：叶子节点（无子节点） if (z->m_pLeft->isNIL() && z->m_pRight->isNIL()) { // 直接解除父节点链接 if (z->m_beLong == BELONG::LEFT) { z->m_pParent->m_pLeft = &NIL; } else if (z->m_beLong == BELONG::RIGHT) { z->m_pParent->m_pRight = &NIL; } // 如果是根节点 if (z == m_pRoot) { m_pRoot = &NIL; } delete z; return true; } // 情况2：只有一个子节点 if (z->m_pLeft->isNIL() || z->m_pRight->isNIL()) { RBTreeNode<KEY, VALUE>* child = z->m_pLeft->isNIL() ? z->m_pRight : z->m_pLeft; // 子节点替换当前节点 transplant(z, child); // 确保子节点为黑色（红黑树性质） child->m_Color = COLOR::BLACK; delete z; return true; } // 情况3：有两个子节点 // 找到后继节点（右子树的最小节点） RBTreeNode<KEY, VALUE>* successor = minimum(z->m_pRight); // 复制后继节点数据到当前节点 z->m_Key = successor->m_Key; z->m_Value = successor->m_Value; // 递归删除后继节点（可能是红色或黑色） return Delete(successor->m_Key); } // 节点替换辅助函数 void transplant(RBTreeNode<KEY, VALUE>* u, RBTreeNode<KEY, VALUE>* v) { if (u->m_pParent->isNIL()) { m_pRoot = v; v->m_beLong = BELONG::ROOT; } else if (u->m_beLong == BELONG::LEFT) { u->m_pParent->m_pLeft = v; } else { u->m_pParent->m_pRight = v; } v->m_pParent = u->m_pParent; v->m_beLong = u->m_beLong; } ``` #### 三种情况的详细说明 1. **叶子节点（无子节点）**： ```mermaid graph TD A[父节点] --> B[红色节点] B --> NIL1[NIL] B --> NIL2[NIL] 删除后: A --> NIL1 ``` - 直接解除父节点链接 - 父节点指向NIL节点 - 删除节点，无需额外操作 2. **只有一个子节点**： ```mermaid graph TD A[父节点] --> B[红色节点] B --> C[黑色子节点] B --> NIL[NIL] 删除后: A --> C ``` - 用子节点替换当前节点 - 确保子节点变为黑色（维护性质4） - 不需要旋转或颜色调整 3. **有两个子节点**： ```mermaid graph TD A[红色节点] --> B[左子树] A --> C[右子树] 找到C的最小节点D 用D的值替换A 递归删除D ``` - 找到右子树的最小节点（后继节点） - 复制后继节点的数据到当前节点 - 递归删除后继节点（可能是红色或黑色） #### 为什么红色节点删除简单？ 1. **不改变黑色高度**： - 删除红色节点不会减少任何路径的黑色节点数 - 性质5（所有路径黑色节点数相同）保持不变 2. **不产生连续红色**： - 红色节点的父节点和子节点都是黑色 - 删除后不会产生连续红色节点 3. **子树结构不变**： - 删除操作不改变子树的高度平衡 - 不需要旋转调整树结构 #### 特殊情况处理 当删除的红色节点是根节点时： ```cpp // 在叶子节点情况中处理 if (z == m_pRoot) { m_pRoot = &NIL; // 树变为空 } ``` 当只有一个子节点时强制变黑： ```cpp child->m_Color = COLOR::BLACK; // 维护性质4 ``` ### 删除操作时间复杂度 | 操作 | 时间复杂度 | 说明 | |------|------------|------| | 查找节点 | O(log n) | 标准二叉搜索树查找 | | 叶子节点删除 | O(1) | 直接解除链接 | | 单子节点删除 | O(1) | 简单替换 | | 双子节点处理 | O(log n) | 查找后继节点 |
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