动态规划----最长公共子序列问题

最新推荐文章于 2024-04-29 21:11:51 发布

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本文介绍了动态规划算法在解决最长公共子序列问题中的应用。通过分析最优解的性质，定义最优值的递归关系，自底向上计算并构造最优解。示例展示了如何避免重复计算，提高效率，并最终得出最长公共子序列的长度及序列本身。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解的问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后再从若干个子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子规模往往不是相互独立的。

动态规划算法适用于解最优化的问题。通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：

找出最优解的性质，并刻画其结构特征
递归地定义最优值
以自底向上的方式计算出最优值
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

动态规划算法可有效解决最长公共子序列的问题。首先来看看最长公共子序列的定义：

在这里插入图片描述
这道题可以按照下面两种情况分析，解决动态规划问题最主要的是要用假设。

在这里插入图片描述
根据上面两种情况分析我们可以利用归纳法写出数学表达式：

在这里插入图片描述
因此根据数学表达式直接写出代码如下：

int lcsLength(char *X, char *Y, int m, int n)
{
   
   
	if (m == 0 || n == 0)return 0;
	else
	{
   
   
		if (X[m] == Y[n]) return lcsLength(X, Y,m - 1, n - 1) + 1;
		else
		{
   
   
			return max(lcsLength(X, Y, m, n - 1), lcsLength(X, Y, m - 1, n));
		}
	}
}
int main()
{
   
   
	char X[] = {
   
    "#ABCBDAB" };
	char Y[] = {
   
    "#BDCABA" };
	int mx = strlen(X) - 1;
	int ny = strlen(Y) - 1;
	int maxlen = lcsLength(X, Y, mx, ny);
	cout << maxlen << endl;
}

从运行结果我们可以看到确实计算出了X和Y的最长公共子序列的长度是4：

在这里插入图片描述
但是很明显这个程序重复计算了好多次相同规模的情况，因此我们用一个二维数组来标记，减少重复计算相同规模的子序列。

void PrintVector(vector<vector<int>>& c)
{
   
   
	for (int i = 0; i < c.size(); i++)
	{
   
   
		for (int j = 0; j < c[i].size(); j++)
		{
   
   
			cout << c[i][j] << " ";
		}
		cout

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