最小生成树prim算法

基本思路

1、每次选择一个节点加入最小生成树，选择节点的原则是贪心，和已选节点邻接的未选节点中，选择边权重最小的节点。
2、维护一个代价数组lowcost，lowcost[i]表示所有已选节点和节点 i 相连的边中最小的权重：

例子

使用邻接矩阵存储：

算法过程

1、初始状态把节点0加入已选节点，未选节点还有 [1, 2, 3, 4, 5]，更新lowcost数组。
由于已选节点只有节点0，lowcost[i]等于节点0和节点i直连边的权重值。

2、节点2加入已选节点 [0, 2]， 同时更新lowcost数组。

3、重复步骤2，直到所有节点加入最小生成树。

下面是一个选择节点，更新lowcost数组的详细说明

0、忽略已选节点[0, 2]。
1、未选节点1到已选节点[0, 2]的权重分别为[6, 5]，最小值为5，故lowcost[1] = 5。
2、未选节点3到已选节点[0, 2]的权重分别为[5, 5]，最小值为5，故lowcost[2] = 5。
3、未选节点4到已选节点[0, 2]的权重分别为[∞, 6]，最小值为6，故lowcost[4] = 6。
3、未选节点5到已选节点[0, 2]的权重分别为[∞, 4]，最小值为4，故lowcost[5] = 4。
4、未选节点的lowcost最小值为4，对应节点5，故把节点5加入最小生成树。

实际操作过程中，lowcost[m]的计算不需要每次都遍历所有和节点m相连的已选节点。

5、节点5加入已选 [0, 2, 5]。
7、未选节点1到节点5的权重是∞，大于lowcost[1]，故lowcost[1]不变。
8、未选节点3到节点5的权重是2，小于lowcost[3]，故更新lowcost[3] = 2。
9、未选节点4到节点5的权重是6，等于lowcost[4]，故lowcost[4]不变。
10、未选节点的lowcost最小值为2，对应节点3，故把节点加入最小生成树。

代码

int prim(int graph[][cnt], int v)
{
	int lowcost[cnt];
	int visited[cnt] = {0};
	visited[v] = 1;
	
	for (int i = 0; i < cnt; i++)
	{
		lowcost[i] = graph[v][i];
	}
	
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i < cnt; i++)
	{
		int min = INT_MAX;
		int j = 0;
		
		// 遍历lowcost，查找lowcost中未选节点的最小值
		for (; j < cnt; j++)
		{
			if (visited[j] == 0 && lowcost[j] < min)
			{
				min = lowcost[j] < min ? lowcost[j] : min;
			}
		}
		
		visited[j] = 1;					// 节点j标记为已选
		sum += min;
		
		// 节点j加入最小生成树后，更新lowcost
		for (int k = 0; k < cnt; k++)
		{
			if (visited[k] == 0 && graph[j][k] < lowcost[k])
				lowcost[k] = graph[j][k];
		}
	}

	return sum;
}

路径

下面介绍最小生成树路径的获取过程。和lowcost的维护相同，随着节点加入最小生成树，不断迭代更新。
1、初始状态，已选[0]，未选 [1, 2, 3, 4, 5]。最小生成树初始为：

2、节点2加入已选，lowcost[1, 4, 5]被更新。也就是说，节点2到节点1、4、5的代价
比节点0到节点1、4、5的代价小。所以，节点1、4、5连接到节点2。

2、节点5加入已选，lowcost[3]被更新。也就是说，节点5到节点3的代价
比节点[0, 2]到节点3的代价小。所以，节点3连接到节点5。

3、一直迭代至完成

代码

int prim(int graph[][cnt], int v)
{
	int lowcost[cnt];
	int visited[cnt] = {0};
	int adjvex[cnt] = {v};					// 存储最小生成树，初始状态未选节点都连接到节点v
	visited[v] = 1;
	
	for (int i = 0; i < cnt; i++)
	{
		lowcost[i] = graph[v][i];
	}
	
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i < cnt; i++)
	{
		int min = INT_MAX;
		int j = 0;
		
		// 遍历lowcost，查找lowcost中未选节点的最小值
		for (; j < cnt; j++)
		{
			if (visited[j] == 0 && lowcost[j] < min)
			{
				min = lowcost[j] < min ? lowcost[j] : min;
			}
		}
		
		visited[j] = 1;					// 节点j标记为已选
		sum += min;
		
		// 节点j加入最小生成树后，更新lowcost
		for (int k = 0; k < cnt; k++)
		{
			if (visited[k] == 0 && graph[j][k] < lowcost[k])
			{
				// 节点j加入最小生成树后，未选节点k到已选节点中的节点j权重最小
				lowcost[k] = graph[j][k];
				adjvex[k] = j;
			}
		}
	}

	return sum;
}