MOEA-D算法详解（1）---（权重求和以及切比雪夫聚合函数）

基于分解的多目标优化进化算法

算法思想

MOEA/D利用分解思想

其将一个多目标优化问题转换为多个标量子问题，且每一个子问题由一个均匀分布的权重向量构成

对于每生成一个新解，则基于聚合函数对该子问题附近的解进行替换

在完成种群初始化后，该算法会为种群中的每个个体分配一个均匀分布的权重向量，而后计算权向量间的欧几里得距离，选择距离最近的 T 个权重向量作为该权重向量对应子问题的邻域

各子问题在其邻域内选取个体交叉产生新解

在新解产生之后，通过聚合函数来实现解的选择

即选择聚合函数值更优的解，并且每个子问题还会利用相邻子问题的信息进行优化

算法流程图

算法三个聚合函数

1.权重求和法

该方法通过公式

来将多目标优化问题聚合成单目标优化问题

权重求和法详解

首先，权重求和法将所有目标函数以一个相对重要程度组合起来，并把组合形成的函数作为自己将要优化的目标看待。

数学含义是：

例如在图中，

垂直于权重向量λ的线称为等高线。通过缩小等高线上的值，属于权重向量λ的等高线会向原点移动，这样就肯定会与凹的POF有切点(图中点A)，那么A点即为权重向量λ对应子问题的最优解。通过设置不同的权重向量λ ，就可以达到多个切点（也就是最优解）
多个最优解共同组成帕累托前沿。

2.切比雪夫法

该方法是一种非线性聚合方法，其分解后的目标函数形式为：

在该公式中，Z*为参考点（代表算法理想值，经常取某个目标上的出现过的最小值作为该目标上的理想位置）

切比雪夫法详解

切比雪夫法就是找出λi|fi(x)-z*i|最大值（也就是看那个目标函数离理想点比较远），对其进行缩小，当最大值最小时，其余值也必然最小化。

直接举例说明：