深度学习算法优化背景知识---指数加权平均

背景：在深度学习优化算法，如:Momentum、RMSprop、Adam中都涉及到指数加权平均这个概念。为了系统的理解上面提到的三种深度学习优化算法，先着重理解一下指数加权平均(exponentially weighted averages)

定义

指数移动平均（EMA）也称为指数加权移动平均（EWMA），是一种求平均数的方法，应用指数级降低的加权因子。 每个较旧数据的权重都呈指数下降，从未达到零。

m个数据的数据集${[\theta_1,\theta_2,...,\theta_m]}$ ；

• 平均数的一般求解方法：$v_{aver} = \frac{\theta1+\theta2+...+\theta_m}{m}$ ;
• 指数加权平均的求解方法：
  
  • 参数 $\beta$, $v_0 = 0$;
  • $v_t = \beta v_{t-1} + (1-\beta)\theta_t$ :前t个样本的平均数由前(t-1)个样本的平均数和第t个样本决定。

符号	含义
$\beta$	参数
$v_0$	初始平均值
$v_t$	前t条记录的平均值
$\theta_t$	第t条记录值

举例

有100天伦敦温度记录${[\theta_1,\theta_2,...,\theta_{100}]}$，计算伦敦100天温度平均值。如果$\beta =0.9$；

计算公式：

展开公式：

即：$v_{100} = 0.1\theta_{100} + 0.1*0.9 \theta_{99} + 0.1*(0.9)^2 \theta_{98} + ... + 0.1*0.9^{99}\theta_1$

可以看出：各个记录前的权重系数是以指数级下降的，但不为0。所以这种平均值的求解方法称为指数加权平均 。

温度平均值变化图：

应用

主要用在深度学习优化算法中，用来修改梯度下降算法中参数的更新方法。

在优化算法中，$\frac{1}{1-\beta}$ 可以粗略表示指数加权平均考虑的样本数[由于随着样本容量t的逐渐增多，其系数指数下降，对平均值的贡献程度逐渐降低；影响平均值计算的几个关键样本就是最近几天的样本值，而这个样本量可以通过$\frac{1}{1-\beta}$ 来进行大致估算]。

Momentum

初始化：$v_{dW} = np.zeros(dW.shape)$ ; $v_{db} = np.zeros(db.shape)$ —-初始为0；分别与dW、db shape相同；

• $v_{dW}$、 $v_{db}$ 用来计算关于$W$、$b$ 梯度的平均值；

在第t次迭代中On iteration $t$:

• Compute $dW$, $db$ on the current mini-batch； 现在当前batch中计算$dW$、$db$ ;
  • $v_{dW} = \beta v_{dW} + (1-\beta)dW$ 【计算关于$dW$的平均。解释：dW看做是加速度，$v_{dW}$ 下山速度， $\beta$ 摩擦系数； momentum动量】
  • $v_{db} = \beta v_{db} + (1-\beta)db$ 【计算关于$db$的平均】
  • $W = W - \alpha v_{dW}, b=b-\alpha v_{db}$ 【参数更新：用关于$W$、$b$ 梯度的平均值来替换原来的$dW$、$db$】

  超参数: $\alpha, \beta$, —$\beta$ usually be 0.9. (a very robust number)

  RMSprop

  初始化：$S_{dW} = np.zeros(dW.shape)$ ; $S_{db} = np.zeros(db.shape)$ —-初始为0；分别与dW、db shape相同；

  在t次迭代中On iteration $t$:

  • Compute $dW$,$db$ on current mini-batch
    • $v_{dW} = \beta v_{dW} + (1-\beta)(dW)^2$ ; $v_{db} = \beta v_{db} + (1-\beta) (db)^2$ 【计算梯度平方的平均值】
    • $W = W - \alpha \frac{dW} {\sqrt{v_{dW} + \epsilon}}$ ; $b = b - \alpha \frac{db}{\sqrt{v_{db}+\epsilon}}$ 【参数更新：除以平方根;加上$\epsilon$防止开平方根过小】

    Adam = Momentum + RMSprop

    初始化：$v_{dW} = np.zeros(dW.shape)$ ; $S_{dW} = np.zeros(dW.shape)$ ; $v_{db} = np.zeros(db.shape)$ $S_{db} = np.zeros(db.shape)$ ; —-初始为0；分别与dW、db shape相同；【$v_{dW}$、$v_{db}$ 是Momentum算法；$S_{dW}$、$S_{db}$ 是RMSprop优化算法】

    t次迭代过程On iteration $t$:

    • Compute $dW, db$ on current mini-batch；
      • $v_{dW} = \beta_1v_{dW} + (1-\beta_1) dW$ , $v_{db} = \beta_1 v_{db} + (1-\beta_1) db$ ———–“Momentum” 超参数:$\beta_1$
      • $S_{dW} = \beta_2 S_{dW} + (1-\beta_2) (dW)^2$, $S_{db} = \beta_2 S_{db} + (1-\beta_2) (db)^2$ ————“RMSprop” 超参数:$\beta_2$
      • biases correction 偏差修正:
        
        • $v_{dW}^{correct} = \frac {v_{dW}}{(1-\beta_1^t)}$ , $v_{db}^{correct} = \frac {v_{db}}{(1-\beta_1^t)}$ ;
        • $S_{dW}^{correct} = \frac {S_{dW}}{(1-\beta_2^t)}$ , $S_{db}^{correct} = \frac {S_{db}}{(1-\beta_2^t)}$ ;
      • $W = W - \alpha \frac{v_{dW}^{correct}}{\sqrt{S_{dW}^{correct}+ \epsilon} }$ , $b = b - \alpha \frac{v_{db}^{correct}}{\sqrt{S_{db}^{correct} + \epsilon } }$ 【更新方法：结合Momentum和RMSprop优化算法】

      问题及改正

      存在问题

      指数加权平均早期估算过程中存在：偏差 。

      由于指数加权平均初始值$v_0 = 0$，$\beta = 0.9$则:

      • $v_1 = 0.9 * v_0 + 0.1*\theta_1 = 0.1\theta_1$
      • $v_2 = 0.9 * v_1 + 0.1 * \theta_2 = 0.09\theta_1 + 0.1\theta_2$

      就是说在平均值求解的刚开始几次计算过程中，计算的平均值过小，偏差过大。表现在下面的图里，绿线 是理想情况；紫线 是指数加权平均线。可以看出前几次平均值紫线比绿线要高一些！ 紫线早期过下，偏差过大。

      

      改正方法

      进行偏差纠正。

      将计算的平均值结果除以$1-\beta^t$，即$v_t = \frac{v_t}{1-\beta^t}=\frac{\beta v_{t-1} + (1-\beta)\theta_t}{1-\beta^t}$ ;

      从计算公式可以看出$v_t$ 随着计算样本t的增大，不断接近于没有进行偏差纠正的指数加权平均值。在图中表现就是随着样本的增大，紫线和绿线逐渐重合。