机器学习入门，线性回归的数学原理与案例

在机器学习领域，线性回归是最基础但也是最核心的算法之一。它不仅是理解监督学习的起点，更是构建复杂模型的基石。

下文将通过数学推导、代码实现和真实案例，深入理解线性回归的本质，并结合数据，探讨其在实际场景中的应用价值。

一、线性回归的数学原理

定义

线性回归通过一个或多个自变量（特征）与因变量（目标）之间的线性关系，建立预测模型。其数学表达式为：

其中，y 是因变量，x 是自变量，β0 是截距，βi 是特征权重，∊ 表示误差项。

目标函数

通过最小化均方误差（MSE）求解最优参数：

其中，m 是样本数量， 是预测值。

求解方法

1. 正规方程法：直接通过矩阵运算求闭式解，但计算复杂度为 O(n^3)，适用于小数据集。
2. 梯度下降：迭代优化参数，时间复杂度为 O(mn)，适合大数据场景。

二、案例：预测波士顿房价

定义任务

• 确定预测目标（如房价、销量等）。
• 区分自变量（特征）和因