树的介绍
1. 树的定义
树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(01) 每个节点有零个或多个子节点；
(02) 没有父节点的节点称为根节点；
(03) 每一个非根节点有且只有一个父节点；
(04) 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
2. 树的基本术语
若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度：结点拥有的子树的数目。
叶子：度为零的结点。
分支结点：度不为零的结点。
树的度：树中结点的最大的度。
层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
二叉树的介绍
1. 二叉树的定义
二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
2. 二叉树的性质
二叉树有以下几个性质：TODO(上标和下标)
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)。
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)。
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
2.1 性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2{i-1} (i≥1)
证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2{i-1}=2{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2{i}"即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2{i-1}=2{i}。
故假设成立，原命题得证！
2.2 性质2：深度为k的二叉树至多有2{k}-1个结点(k≥1)
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k-1=2k-1
故原命题得证！
2.3 性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2 (n+1)
证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。
2.4 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n0)" + "1度结点数(n1)" + "2度结点数(n2)"。由此，得到等式一。
(等式一) n=n0+n1+n2
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
(等式二) n=n1+2n2+1
由(等式一)和(等式二)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！
3. 满二叉树，完全二叉树和二叉查找树
3.1 满二叉树
定义：高度为h，并且由2{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树。
3.2 完全二叉树
定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
3.3 二叉查找树
定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
在实际应用中，二叉查找树的使用比较多。下面，用C语言实现二叉查找树。
二叉查找树的C实现
1. 节点定义
1.1 节点定义
typedef int Type;
typedef struct BSTreeNode{
Type key; // 关键字(键值)
struct BSTreeNode *left; // 左孩子
struct BSTreeNode *right; // 右孩子
struct BSTreeNode *parent; // 父结点
}Node, *BSTree;
二叉查找树的节点包含的基本信息：
(01) key -- 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(02) left -- 它指向当前节点的左孩子。
(03) right -- 它指向当前节点的右孩子。
(04) parent -- 它指向当前节点的父结点。
1.2 创建节点
创建节点的代码
static Node* create_bstree_node(Type key, Node *parent, Node *left, Node* right)
{
Node* p;
if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
return NULL;
p->key = key;
p->left = left;
p->right = right;
p->parent = parent;
return p;
}
2 遍历
这里讲解前序遍历、中序遍历、后序遍历3种方式。
2.1 前序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 访问根结点；
(02) 先序遍历左子树；
(03) 先序遍历右子树。
前序遍历代码
void preorder_bstree(BSTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
printf("%d ", tree->key);
preorder_bstree(tree->left);
preorder_bstree(tree->right);
}
}
2.2 中序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 中序遍历左子树；
(02) 访问根结点；
(03) 中序遍历右子树。
中序遍历代码
void inorder_bstree(BSTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
inorder_bstree(tree->left);
printf("%d ", tree->key);
inorder_bstree(tree->right);
}
}
2.3 后序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 后序遍历左子树；
(02) 后序遍历右子树；
(03) 访问根结点。
后序遍历代码
void postorder_bstree(BSTree tree)
{
if(tree != NULL)
{
postorder_bstree(tree->left);
postorder_bstree(tree->right);
printf("%d ", tree->key);
}
}
下面通过例子对这些遍历方式进行介绍。
对于上面的二叉树而言，
(01) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(03) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3
3. 查找
递归版本的代码
Node* bstree_search(BSTree x, Type key)
{
if (x==NULL || x->key==key)
return x;
if (key < x->key)
return bstree_search(x->left, key);
else
return bstree_search(x->right, key);
}
非递归版本的代码
Node* iterative_bstree_search(BSTree x, Type key)
{
while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
{
if (key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
return x;
}
4. 最大值和最小值
查找最大值的代码
Node* bstree_maximum(BSTree tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->right != NULL)
tree = tree->right;
return tree;
}
查找最小值的代码
Node* bstree_minimum(BSTree tree)
{
if (tree == NULL)
return NULL;
while(tree->left != NULL)
tree = tree->left;
return tree;
}
5. 前驱和后继
节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。
查找前驱节点的代码
Node* bstree_predecessor(Node *x)
{
// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
if (x->left != NULL)
return bstree_maximum(x->left);
// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
// (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
// (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
Node* y = x->parent;
while ((y!=NULL) && (x==y->left))
{
x = y;
y = y->parent;
}
return y;
}
查找后继节点的代码
Node* bstree_successor(Node *x)
{
// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
if (x->right != NULL)
return bstree_minimum(x->right);
// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
// (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
// (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
Node* y = x->parent;
while ((y!=NULL) && (x==y->right))
{
x = y;
y = y->parent;
}
return y;
}
6. 插入
插入节点的代码
static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{
Node *y = NULL;
Node *x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != NULL)
{
y = x;
if (z->key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
z->parent = y;
if (y==NULL)
tree = z;
else if (z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
return tree;
}
Node* insert_bstree(BSTree tree, Type key)
{
Node *z; // 新建结点
// 如果新建结点失败，则返回。
if ((z=create_bstree_node(key, NULL, NULL, NULL)) == NULL)
return tree;
return bstree_insert(tree, z);
}
bstree_insert(tree, z)是内部函数，它的作用是：将结点(z)插入到二叉树(tree)中，并返回插入节点后的根节点。
insert_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中新增节点，key是节点的值；并返回插入节点后的根节点。
注：本文实现的二叉查找树是允许插入相同键值的节点的！若用户不希望插入相同键值的节点，将bstree_insert()修改为以下代码即可。
static Node* bstree_insert(BSTree tree, Node *z)
{
Node *y = NULL;
Node *x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != NULL)
{
y = x;
if (z->key < x->key)
x = x->left;
else if (z->key > x->key)
x = x->right;
else
{
free(z); // 释放之前分配的系统。
return tree;
}
}
z->parent = y;
if (y==NULL)
tree = z;
else if (z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
return tree;
}
7. 删除
删除节点的代码
static Node* bstree_delete(BSTree tree, Node *z)
{
Node *x=NULL;
Node *y=NULL;
if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )
y = z;
else
y = bstree_successor(z);
if (y->left != NULL)
x = y->left;
else
x = y->right;
if (x != NULL)
x->parent = y->parent;
if (y->parent == NULL)
tree = x;
else if (y == y->parent->left)
y->parent->left = x;
else
y->parent->right = x;
if (y != z)
z->key = y->key;
if (y!=NULL)
free(y);
return tree;
}
Node* delete_bstree(BSTree tree, Type key)
{
Node *z, *node;
if ((z = bstree_search(tree, key)) != NULL)
tree = bstree_delete(tree, z);
return tree;
}
bstree_delete(tree, z)是内部函数，它的作用是：删除二叉树(tree)中的节点(z)，并返回删除节点后的根节点。
delete_bstree(tree, key)是对外接口，它的作用是：在树中查找键值为key的节点，找到的话就删除该节点；并返回删除节点后的根节点。
8. 打印
打印二叉树的代码
void print_bstree(BSTree tree, Type key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0) // tree是根节点
printf("%2d is root\n", tree->key);
else // tree是分支节点
printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
print_bstree(tree->left, tree->key, -1);
print_bstree(tree->right,tree->key, 1);
}
}
print_bstree(tree, key, direction)的作用是打印整颗二叉树(tree)。其中，tree是二叉树节点，key是二叉树的键值，而direction表示该节点的类型：
direction为 0，表示该节点是根节点;
direction为-1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
direction为 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
9. 销毁二叉树
销毁二叉树的代码
void destroy_bstree(BSTree tree)
{
if (tree==NULL)
return ;
if (tree->left != NULL)
destroy_bstree(tree->left);
if (tree->right != NULL)
destroy_bstree(tree->right);
free(tree);
}
完整的实现代码
二叉查找树的头文件(bstree.h)
View Code
二叉查找树的实现文件(bstree.c)
View Code
二叉查找树的测试程序(btree_test.c)
View Code
二叉查找树的C测试程序
上面的btree_test.c是二叉查找树的测试程序，它的运行结果如下：
== 依次添加: 1 5 4 3 2 6
== 前序遍历: 1 5 4 3 2 6
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6
== 后序遍历: 2 3 4 6 5 1
== 最小值: 1
== 最大值: 6
== 树的详细信息:
1 is root
5 is 1's right child
4 is 5's left child
3 is 4's left child
2 is 3's left child
6 is 5's right child
== 删除根节点: 3
== 中序遍历: 1 2 4 5 6
下面对测试程序的流程进行分析！
(01) 新建"二叉查找树"root。
(02) 向二叉查找树中依次插入1,5,4,3,2,6 。如下图所示：
(03) 打印树的信息
插入1,5,4,3,2,6之后，得到的二叉查找树如下：
前序遍历结果: 1 5 4 3 2 6
中序遍历结果: 1 2 3 4 5 6
后序遍历结果: 2 3 4 6 5 1
最小值是1，而最大值是6。
(04) 删除节点3。如下图所示：
(05) 重新遍历该二叉查找树。
中序遍历结果: 1 2 4 5 6
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