Hdu 1576 A/B[乘法逆元]

最新推荐文章于 2021-02-24 00:30:01 发布

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#Hdu #1576 #AB #乘法逆元

本文介绍了如何使用乘法逆元解决大数除法问题，并提供了具体的算法实现过程。针对题目中要求计算(A/B)%9973的情况，通过扩展欧几里得算法求解B关于9973的乘法逆元，从而将问题转化为乘法形式进行求解。

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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

问题意思很是简单：

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

首先我们应该很清楚的知道(A/B)%9973 != A%9973 / B % 9973的。。也就是说除法是不满足同余定理的。那么我们怎么计算类似除法的同余定理的呢？？

那么乘法逆元是一个不错的选择。。。

下面就是乘法逆元的概念：

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。

这么理解起来，乘法逆元的存在是相对的。。。

当a与f互素时，a关于模f的乘法逆元有唯一解。如果不互素，则无解。
如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

那么怎么求解乘法逆元呢？？我们可以通过扩展欧几里得算法来求解。。

求解的是：ax + fy = 1 的方程的整数解。。。x 即为a关于f的乘法逆元。。

那么这个问题为什么能够用乘法逆元来求解呢？？

(A / B) % 9973 = (A * B') % 9973 B'为B关于9973的乘法逆元。。化成乘法来进行求解就好了。。

为什么可以这样呢？？因为 B*B' % 9973 = 1 所以(A * 1 / B) % 9973 = (A * B * B' / B ) % 9973 =(A * B') % 9973 是合法的。。。

这样一想就很简单了。。

Code：

include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define INT long long

const INT p = 9973;
INT x, y;

INT ex_gcd(INT a, INT b)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    INT d = ex_gcd(b , a % b);
    INT tmp =x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return d;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T --){
        INT n, b;
        cin >> n >> b;
        ex_gcd(b, p);
        cout << (x % p * n % p + p) % p << endl;
    }
    return 0;
}

---->

水水的乘法逆元知识点。。