逆元知识详解

最新推荐文章于 2026-01-05 22:36:07 发布

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#算法

1.逆

求解一般形式的同余方程 $m)ax\equiv b(\bmod m)$ ，需要用到逆（Inverse）。

逆的概念

给定整数 $a$ ，且满足 $gcd⁡(a,m)=1\gcd(a,m)=1$ ，称 $m)ax\equiv1(\bmod m)$ 的一个解为 $a$ 模 $m$ 的逆，记为 $a^{-1}$ 。
例如， $31)8x\equiv1(\bmod 31)$ ，有一个解是 $x = 4$ ， $4$ 是 $8$ 模 $31$ 的逆。所有解，如 $35, 66$ 等，都是 $8$ 模 $31$ 的逆。
可以借助丢番图方程理解逆的概念， $31)8x\equiv1(\bmod 31)$ 即方程 $8 x + 31 y = 1 ， x = 4$ 是 $8$ 模 $31$ 的逆， $4×8−14\times8 - 1$ 能整除 $31$ 。
从逆的要求 $gcd⁡(a,m)=1\gcd(a,m)=1$ 可以看出，做竞赛题时，模 $m$ 最好是一个大于 $a$ 的素数，才能保证 $gcd⁡(a,m)=1\gcd(a,m)=1$ 。

2.求逆

有多种方法可以求逆。

1）扩展欧几里得算法求单个逆

下面的例题是求逆，即求解同余方程 $m)ax\equiv1(\bmod m)$ 。

例题1 同余方程（求逆）（洛谷 P1082）

问题描述：求关于 x 的同余方程 $max\equiv1(\bmod m$ ) 的最小正整数解。 $2≤a,m≤20000000002\leq a,m\leq2000000000$ 。

$m)ax\equiv1(\bmod m)$ ，即丢番图方程 $a x + m y = 1$ ，先用扩展欧几里得算法求出 $a x + m y = 1$ 的一个特解 $x_0$ ，通解是 $x = x_0+mn$ 。然后通过取模操作计算最小整数解 $m(x_0\bmod m + m)\bmod m$ ，因为 $m > 0$ ，可以保证结果是正整数。

long long mod_inverse(long long a, long long m){ //求逆
    long long x, y;
    extend_gcd(a, m, x, y);
    return (x % m + m) % m;                     //保证返回最小正整数
}
int main(){
    long long a, m;  cin >> a >> m;
    cout << mod_inverse(a, m);
    return 0;
}

下面给出一道类似的习题。

例题2 C looooops(poj 2115)

问题描述：C 语言的循环语句 $f or (v a r iab l e = A; v a r iab l e! = B; v a r iab l e + = C)$ ，当 $v a r iab l e == B$ 时结束循环。A、B、C 的数据类型的长度是 $k$ 位，也就是说，当 $v a r iab l e$ 超过 $k$ 位时，只保留 $k$ 位，相当于对 $2^k$ 取模。给出 $A 、 B 、 C$ 和 $k$ ，判断循环是否能在有限次内结束，若能结束，则输出循环次数。