LA3708墓地雕塑

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思路

首先注意审题，题目说的是新加入的$m$个雕塑可以放在任意位置，因此我们将新加入的雕塑就放在需要的地方（等间隔），只考虑之前的$n$个雕塑的移动位置。由于周长已经确定，我们可以这样想：先把原有的$n$个雕塑放在离其最近的新位置上，其余位置摆放新的雕塑，就可以得到移动总距离最小。

实现

因此我们很容易可以写出代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int n,m;
double circle = 10000;

int main()
{
    while (scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        int sum = n+m;
        double ans = 0;
        double each  = circle/sum; //新的间隔
        double origin = circle/n;  //之前的间隔，一定大于新间隔
        for (int i =1 ;i < n;i++)
        {
            double position = origin*i;
            for (int j = 1;j < sum;j++)  //计算离第i个雕塑最近的位置
            {
                if (position == j*each)
                    break;
                double temp1 = (j-1)*each;
                double temp2 = j*each;
                if (position >  temp1 && position < temp2)
                {
                    ans += min(position - temp1,temp2 - position);
                    break;
                }
            }
        }
        printf("%.4f\n",ans);
    }
    return 0;
}

简化代码

读者可以看出，上面的代码较繁琐，因为我们每次去找第$i$个雕塑的最适位置时都是用的一个for循环，代码复杂度为$O(n*m)$，实在是太高。
书上有一种很巧妙的思路：先把圆看成是单位圆，利用通分的思想找出离第$i$个雕塑移动的最短距离，最后乘上系数即可。
先看代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m;
    while (scanf("%d%d",&n,&m) == 2)
    {
        double ans = 0;
        for (int i= 1;i < n; i++)
        {
            double pos = (double)i / n * (n+m); //计算每个需要移动的雕塑的坐标
            ans += fabs(pos - floor(pos+0.5)) / (n+m); //累加移动距离
        }
        printf("%.4f\n",ans*10000);
    }
    return 0;
}

代码的确是很简洁，但我看了好久都没看懂大佬是如何实现的。。。于是动动手指头算了一算：
首先令$n=2,m=3$，当$i=1$时，计算第一个雕塑距离为$\frac{1}{2}$,我们知道最后的位置的分母一定是5，因此先通分:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{\frac{5}{2}}{5}$

可以看出，代码中的pos即为分母。
因此，我们要使得分母的$\frac{5}{2}$为整数，即找与$\frac{5}{2}$最近的整数即可，这就是代码中fabs(pos - floor(pos+0.5))的意义。

分析与证明

题并不困难，但仔细想想，还有两个问题没有解决。

1.为什么我们不考虑第一个（$i=0$）雕塑？

从直觉上讲，第一个雕塑的位置永远不会移动，事实上也的确如此。可以将圆想象成一个数轴，把第一个点放在圆点，左边的点放在负半轴，右边的点放在正半轴，可以简单证明，其中位数和平均数一定都为圆点。

2.有没有可能两个雕塑都要移动到同一个新位置？

可以简单证明：如果两个雕塑（$m,n$）都要移动到同一个位置，因此，记该位置为$j$,相邻两个位置为$j-1$，$j+1$，因此，雕塑$m$和雕塑$n$分别到$j-1$和$j+1$的位置都小于新的间隔距离的一半,因此雕塑$m$和雕塑$n$的距离小于新的间隔距离，这与题意相违背，因此增加了雕塑后，两个雕塑的距离不可能大于原雕塑之间的距离。