light oj 1067 Combinations (组合数的lucas定理)

最新推荐文章于 2021-06-02 20:19:04 发布

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本文详细介绍了Lucas定理在解决组合数求模问题时的应用，通过快速幂运算和费马小定理，有效地计算了模运算下的组合数。通过实例演示了如何利用Lucas定理简化计算过程。

/*
用到了lucas定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同
即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

对于单独的C(ni, mi) mod p，已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，这里要用到m!(n-m)!的逆元。

根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p), 所以 a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^(p-2) ；
*/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 1000005
#define MOD 1000003
ll fac[maxn];
ll pow_mod(ll a,ll b,ll mod){  //快速幂运算
    ll ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret=(ret*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll get_fac(ll p){  //fac数组存的是前i个数的乘积
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p){ //lucas定理：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)
    ll ret=1;
    while(n&&m){
        ll a=n%p,b=m%p;
        if(a<b) return 0;
        ret=(ret*fac[a]*pow_mod(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p; //(m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^(p-2) ；
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ret;
}
int main(){
    int i,j,t;
    ll n,m,p;
    p=MOD;
    get_fac(p);
    cin>>t;
    for(i=1;i<=t;i++){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("Case %d: %lld\n",i,lucas(n,m,p));
    }
    return 0;
}