Light oj Trailing Zeroes (I) （算术基本定理）

最新推荐文章于 2021-01-14 09:34:18 发布

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本文探讨了数论基础知识的应用，包括算术基本定理、线性筛素数、欧拉函数等概念，并详细介绍了MillerRabin质数分解和PollardRho大整数分解算法。通过实例分析，读者可以深入了解如何使用这些算法解决实际问题。

对于初识数论的我来说这是很好的一道题，因为通过它我扩展了不少东西：算术基本定理,线性筛素数,欧拉函数,Miller Rabin质数分解和Pollard Rho大整数分解（见模板,较为少用）
主要是对算术基本定理（质因数分解定理）的应用（百度之），求一个数因数的个数。
首先用线性筛素数法筛出所有的小于等于 sqrt(n) 的素数，然后枚举素数即可，有一点需要注意：
一个数 n 的质因数最多有一个大于 sqrt(n),我简单证明了一下：
设若有两个或多个，取a和b,则a和b的最小公倍数为 a*b>n,而a,b又整除n，所以矛盾,故证明之。

所以在枚举完所有的素数之后，若 n>1 则说明还有一个大于sqrt(n)的素因子，它的指数为1，所以要乘2

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 1000010
ll prime[maxn],n,ans;
int flag[maxn],num;
void get_prime(){
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    num=0;
    for(ll i=2;i<maxn;i++){
        if(!flag[i]) prime[++num]=i;
        for(ll j=1;j<=num&&i*prime[j]<maxn;j++){
            flag[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
int main(){
    int i,j,t;
    cin>>t;
    get_prime();
    for(i=1;i<=t;i++){
        scanf("%lld",&n);
        ans=1;
        for(j=1;j<=num&&prime[j]<=sqrt(n+0.5);j++){
            if(n<prime[j]) break;
            if(n%prime[j]==0){
                int a=1;
                while(n%prime[j]==0){
                    n/=prime[j];
                    a++;
                }
                ans*=a;
            }
        }
        if(n>1) ans*=2;
        ans--;   //把1去掉
        printf("Case %d: %lld\n",i,ans);
    }
    return 0;
}