P8867 NOIP2022 建造军营

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给定一个无向联通图 \(G = (V', E')\)，求有多少个二元组 \((V, E)\)，满足：

• \(V \subseteq V'\)，\(E \subseteq E'\)，\(V \ne \varnothing\)。
• 在 \(G\) 上，断开 \(E’ - E\) 中任意一条边后，都有 \(V\) 中所有点在 \(G\) 上仍然联通。

35 pts

枚举 \(2^n - 1\) 种 \(V\) 的情况，再用 \(m(n +m)\) 的复杂度暴力检验将每条边断开后 \(V\) 是否仍然联通，记录【断开该边后 \(V\) 仍然可以联通】的边数 \(M\)，答案累加 \(2^{M}\) 即可。

时间复杂度 \(\Theta(m(n+m)2^n)\)，期望可以通过前 \(7\) 个数据点(没有实测)。

45 pts

考虑开特殊性质 \(\mathrm{A}\)，也就是给定的图是一条链。

我们考虑当 \(V\) 最左面的点为 \(l\)，最右面的点为 \(r\) 时，有多少种二元组。

当 \(l = r\)，也就是 \(V\) 中只有一个元素 \(l\) 时，所有边都可以随便选，可以有 \(2^{n-1}\) 种取法。这一部分的答案是 \(n \times 2^{n-1}\)。

当 \(l \ne r\) 时，中间的 \(r-l\) 条边必须选入 \(E\)，而两头的边都可以随便选取。此时 \(V\) 有 \(2^{r - l - 1}\) 种取法，\(E\) 有 \(2^{n-1-(r-l)}\) 种取法，惊喜发现这一部分答案就是 \(2^{n-2}\)，和 \(l\)，\(r\) 无关。

\(l\)，\(r\) 的取法为 \(\dbinom{n}{2} = \