算法笔记：DFS（基础）

最新推荐文章于 2025-03-29 12:24:24 发布

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分类专栏：算法笔记系列

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/cr496352127/article/details/79096577

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专题：DFS（基础）

一、基础知识

1. 引入

搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。

2. 基本思想

（1）为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索；

（2）在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索；

（3）如此反复进行，直至得到解或证明无解。

举例：迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进，如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。

二、典例

1. 素数环

给定一个N，求1——N组成的环，使得环上相邻的元素和为素数。

输入描述：

一个整数N（1<=N<=10）

输出描述：

把1放在第一位置，按照字典顺序不重复地输出所有解（顺时针，逆时针算不同的两种），相邻两数之间严格用一个空格隔开，每一行的末尾不能有多余的空格。如果无解，则输出“no”。

样例输入：

样例输出：

1 2 3 8 5 6 7 4

1 2 5 8 3 4 7 6

1 4 7 6 5 8 3 2

1 6 7 4 3 8 5 2

【分析】环中只确定起点为1，而其它位置上的数不确定，也就是说有多种可能的组合。遇到此种情境时要考虑搜索+回溯求解。

在这里，除去环的起点，每个位置上的数有N种可能。只要满足以下3点：

（1）填进去的数合法（2~N）

（2）与前面的数不相同；

（3）与左边相邻的数的和是一个素数，特别注意环的终点与环的起点上的数之和也是一个素数。

就可确定所求的环是素数环。

过程如下：

（1）使用两个数组ring和vis。其中ring保存所求素数环中的各个数，vis记录1~N 这N个数是否已使用（因为要保证不重复）

（2）数据初始化；

（3）递归填数：判断第i个数填入是否合法；

①合法：填数，并判断是否已经到达环的终点。如果到达终点，打印结果；否则，继续填下一个数；

②不合法：选择下一种可能。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#define maxn 15
int N;
int ans=0;       //ans记录解的数目，ans=0时表示无解，输出"no" 
int ring[maxn];  //ring数组保存素数环中的数 
int vis[maxn];   //vis记录1~N 这N个数是否已填入素数环 
int is_Prime(int n)  //判素数 
{
	int i;
	if(n<=1)     //负数.0和1都不是素数 
		return 0;
	for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0)
			return 0;
	}
	return 1;
}
void dfs(int cur)  //从第2个数开始，向后搜索符合条件的素数环 
{
	int i;
	if(cur==N)     //搜索结束 
	{
		if(is_Prime(ring[0]+ring[cur-1]))  //判断素数环首尾数之和是否为素数，如果是，则找到解 
		{
			for(i=0;i<cur-1;i++)
				printf("%d ",ring[i]);
			printf("%d\n",ring[cur-1]);
			ans++;
		}
		return; 
	}
	for(i=2;i<=N;i++)   //试探2~N中的每个数 
	{
		//当i未被使用且i与环中最后一个数之和为素数时，将其填入素数环 
		if(!vis[i] && is_Prime(ring[cur-1]+i))
		{
			vis[i]=1;   //置已使用标记 
			ring[cur]=i;//填充 
			dfs(cur+1); //继续搜索 
			vis[i]=0;   //回溯-清除已使用标记 
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&N);
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	if(N==1)    //N为1时，因为1不是素数，所以可直接判断无解 
		printf("no\n");
	else        //其它情况：搜索 
	{
		ring[0]=1;  //先将1填入，作为素数环的起点 
		dfs(1);     //从环的第2个数开始搜素 
		if(ans==0)  //搜索结束后，如果无解，输出"no" 
			printf("no\n");
	}
	return 0;
}

2. 排列组合问题

（Ⅰ）设有n个整数的集合｛1,2,…,n｝，从中取出任意r个数进行排列（1<=r<n<=10），试列出所有的排列。

【分析】元素的排列问题

总体思路同上，这里某个元素按不同次序出现的组合应视为不同的排列。例如：1 2 3和2 1 3，元素均为1.2.3，只是排列顺序不同，因此应视为元素1.2.3的不同排列。

特别地，当n=r时，称为n的全排列。实现时只需把下面程序的终点改为cur==n即可。

#include <stdio.h>
#define maxn 12
int n,r;
int ans=0;         //符合要求的排列总数 
int ret[maxn];     //保存产生的排列 
int vis[maxn];     //记录1~n是否已使用 1-是 0-否 
void dfs(int cur)  //从{1,2,...,n}中取r个数构成的排列
{
	int i;
	if(cur==r)     //r个数已经选完，输出选择方案 
	{
		for(i=0;i<cur-1;i++)
			printf("%d ",ret[i]);
		printf("%d\n",ret[cur-1]);
		ans++; 
		return;
	}
	//试探1~n n个数 
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])     //i未被使用 
		{
			vis[i]=1;   //置已使用标记 
			ret[cur]=i; //将i填入ret[cur] 
			dfs(cur+1); //继续搜索 
			vis[i]=0;   //回溯：清除标记 
		}
	}
} 
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&r);
	dfs(0);
	printf("count=%d\n",ans);
	return 0;
}

（Ⅱ）组合的输出

排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r<＝n)，我们可以简单地将n个元素理解为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。