Introduction to Algorithms 算法导论 第3章 函数的增长 学习笔记及习题解答

3.1 渐近记号
表示算法的渐近运行时间的记号是用定义域为自然数集N = {0, 1, 2, ...}的函数来定义的。这些记号用来表示最坏情况运行时间T(n)。

Θ记号
    Θ(g(n)) = {f(n): 存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n≥n0，有0 ≤ c1*g(n) ≤ f(n) ≤ c2*g(n)}
O记号
    O(g(n)) = {f(n): 存在正常数c和n0，使对所有的n≥n0，有0 ≤ f(n) ≤ c*g(n)}
Ω记号
    Ω(g(n)) = {f(n): 存在正常数c和n0，使对所有的n≥n0，有0 ≤ c*g(n) ≤ f(n)}

Θ称为渐近确界，O称为渐近上界，Ω称为渐近下界。

定理3.1 对任意两个函数f(n)和g(n)，f(n) = Θ(g(n)) 当且仅当f(n) = O(g(n))和f(n) = Θ(g(n))。

o记号：
    o(g(n)) = {f(n): 对任意正常数c，存在常数n0 > 0，使对所有的n≥n0，有0 ≤ f(n) ≤ c*g(n)}
ω记号：
    ω(g(n)) = {f(n): 对任意正常数c，存在常数n0 > 0，使对所有的n≥n0，有0 ≤ c*g(n) ≤ f(n)}

传递性:
    f(n) = Θ(g(n)) && g(n) = Θ(h(n)) ==> f(n) = Θ(h(n))
    f(n) = O(g(n)) && g(n) = O(h(n)) ==> f(n) = O(h(n))
    f(n) = Ω(g(n)) && g(n) = Ω(h(n)) ==> f(n) = Ω(h(n))
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