Introduction to Algorithms 算法导论 第2章 算法入门 学习笔记及习题解答

2.1 插入排序

插入排序解决的问题：
    输入：n个数构成的序列<a1, a2, ..., an>
    输出：排序输入序列<a1, a2, ..., an>为<a1', a2', ..., an'>，满足a1' ≤ a2' ≤ ... ≤ an'

伪码：
    INSERTION-SORT(A)
      for j <- 2 to length[A]
        do key <- A[j]
            i <- j - 1
            while i > 0 and A[i] > key
                do A[i+1] <- A[i]
                    i <- i - 1
            A[i+1] = key

C代码：(C的数组下标从0开始，而伪码中从1开始)
void insertion_sort(int *arr, size_t size)
{
    int i, j, key;

    assert(NULL != arr);

    for (j = 1; j < size; ++j) {
        key = arr[j];

        for (i = j - 1; i >= 0 && arr[i] > key; --i)
            arr[i+1] = arr[i];

        arr[i+1] = key;
    }
}

正确性分析：

    说明：
        插入算法在执行循环之前，A[1,j-1]是已排好序的，而每次循环都保持这个情况，因此当j从2到length[A]循环完成后，整个数组已排序。
    初始：
        j＝2，A[1,j-1]只包含一个元素A[1]，因此是已排序的；
    保持：
        对于任意j(2 ≤ j ≤ length[A])，保存A[j]到key
        内部循环总是从A[j-1], A[j-2], ..., A[1]序列中依次查找所有大于A[j]的值并依次后移。
        当循环结束时，A[i+1,j]中存放所有大于key的值，而A[1,i-1]中存放所有不大于key的值，且A[i]是空闲的。
        存放key到A[i]。
        因此每次循环后，A[1,j]是有序的。
    退出：
        j > length[A]时循环结束，此时A[1,length[A]]全部有序。

数学归纳法证明：
    当j=2时，A[1,j-1]只包含一个元素A[1]，因此肯定是有序的。
    假定对于任意j=m(2 ≤ m < length[A])，循环完成后有A[1,j]有序
    则当j=m+1时：
        A[1,m]肯定有序。
        保存A[m+1]到key。
        内层循环结束时，A[1,i]子数组中所有元素不大于key，而A[i+2,m+1]子数组中所有元素大于key，A[i+1]不持有有效数据。
        保存key到A[i+1]。
        综上可知：A[1,m+1]此时是有序的。

    因此对于所有的j(2 ≤ j ≤ length[A])，在任意时刻，有A[1,j]有序。
    当循环迭代到j=length[A]算法结束时，数组A已排序。

测试程序：
    可以通过如下程序测试插入排序算法的正确性。其中辅助函数print_arr、init_arr可能在以后多次用到：

#include <assert.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

void insertion_sort(int *arr, size_t size)
{
	int key;
	int i, j;

	assert(NULL != arr);

	for (j = 1; j < size; ++j) {
		key = arr[j];
		for (i = j - 1; i >= 0 && arr[i] > key; --i)
			arr[i+1] = arr[i];
		arr[i+1] = key;
	}
}

void print_arr(const int *arr, size_t size, const char *info)
{
	int i;

	assert(NULL != arr);

	printf("%s: ", info);
	for (i = 0; i < size; ++i)
		printf("%d ", arr[i]);
	printf("\n");
}

void init_arr(int *arr, size_t size)
{
	int i;

	assert(NULL != arr);

	srand((unsigned int)time(NULL));

	for (i = 0; i < size; ++i)
		arr[i] = rand()%100;
}

int main()
{
	int arr[10];

	init_arr(arr, 10);
	print_arr(arr, 10, "before");
	insertion_sort(arr, 10);
	print_arr(arr, 10, "after");

	return 0;
}

习题：

2.1-1 以图2-2为模型，说明INSERTION-SORT在数组A=<31,41,59,26,41,58>上的执行过程。
如下：

    31,    41(j), 59,    26,    41,    58
    31(j), 41,    59(j), 26,    41,    58
    26,    31,    41,    59(j), 41,    58
    26,    31,    41,    41,    59(j), 58
    26,    31,    41,    41,    58,    59(j)

标注为x(j)的元素表示此时正在以j执行循环。

2.1-2 重写过程INSERTION-SORT，使之按非升序（而不是按非降序）排序。
只需要更改一行：
更改
    while i > 0 and A[i] > key
为
    while i > 0 and A[i] < key
即可。

2.1-3 考虑下面的查找问题：
    输入：一列数A=<a1,a2,…,an>和一个值V。
    输出：下标i，使得V=A[i]，或者当V不再A中出现时为NIL。
写出针对这个问题的线性查找的伪代码，它顺序地扫描整个序列以查找V。利用循环不变式证明算法的正确性。确保所给出的循环不变式满足三个必要的性质。
FIND-LINEAR(A, v, i)
    i <- NIL
    j <- 1
    while j ≤ length[A] and A[j] != v
        do j <- j + 1
    if j ≤ length[A]
        then i <- NIL

int find_linear(const int *arr, size_t size, int v)
{
    int i;

    for (i = 0; i < size && arr[i] != v; ++i);

    if (i == size) i = -1;    /* -1 means NIL */

    return (int)i;
}

证明：
    初始：
        i＝NIL，初始化为未查找到。

    保持：
        从j=1到length[A]，依次判断，如果A[j]等于v，则结束循环。

    退出：
        循环结束时，判断j是否有效
        如果j在有效范围（