P2386 放苹果

记录163

#include<bits/stdc++.h> // 引入万能头文件，包含所有常用的标准库
using namespace std; // 使用标准命名空间
int t,m,n; // 定义全局变量t(测试数据组数)、m(苹果数)、n(盘子数)
int ans; // 定义全局变量ans，用来记录当前测试数据的合法方案总数

// remain_apple: 当前还剩下多少个苹果没放
// remain_plate: 当前还剩下多少个盘子没放
// min_apple: 当前这个盘子至少要放多少个苹果（保证非递减，避免重复）
void dfs(int remain_apple,int remain_plate,int min_apple){
    // 如果只剩下最后1个盘子，剩下的苹果全部放进去，这算作一种合法方案
    if(remain_plate==1){
        ans++; // 方案数加1
        return; // 结束当前递归分支
    }
    
    // 枚举当前盘子放多少个苹果（从min_apple开始枚举）
    // 剪枝：因为后面还有remain_plate-1个盘子，且每个至少放i个
    // 所以当前最多只能放 remain_apple / remain_plate 个
    for(int i=min_apple;i<=remain_apple/remain_plate;i++){
        dfs(remain_apple-i,remain_plate-1,i); // 递归搜索下一个盘子，传入减去i后的剩余苹果，盘子数减1，最小可选值更新为i
    }
}

int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false); // 关闭cin与stdio的同步，加快输入输出速度
    cin.tie(0); // 解除cin与cout的绑定，进一步加快IO效率
    cin>>t; // 输入测试数据的组数t
    while(t--){ // 循环t次，处理每一组测试数据
        cin>>m>>n; // 输入当前组的苹果数m和盘子数n
        ans=0; // 每次测试数据开始前，将方案数清零
        dfs(m,n,0); // 调用dfs开始搜索，初始剩余m个苹果，需放n个盘子，最小从0开始选（允许空盘）
        cout<<ans<<"\n"; // 输出当前测试数据的合法方案总数
    }
    return 0; // 主函数正常结束，返回0
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P2386

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前言

我是一名专注信奥赛（GESP、CSP-J/S）的教练。

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• 我深知算法思维的构建远比单纯通过题目更重要，本系列题解不局限于AC代码的堆砌，而是致力于拆解题目背后的逻辑链条与核心知识点
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核心解题思路

这道题是一道非常经典的组合数学与深度优先搜索（DFS）剪枝问题。

1. 问题转化（非递减序列模型）：
   题目要求将 mm 个相同的苹果放入 n 个相同的盘子，且允许空盘。因为盘子是相同的，所以 (5,1,1) 和 (1,1,5) 被视为同一种方案。为了避免重复计数，我们可以强制规定每个盘子放的苹果数量呈非递减顺序（即前一个盘子放的苹果数 ≤≤ 后一个盘子放的苹果数）。这样，每一种合法的分配方案都唯一对应一个非递减序列。

2. 算法设计（DFS 与剪枝优化）：
   我们可以使用 DFS 逐个盘子进行分配。在搜索过程中，需要维护三个状态：剩余苹果数、剩余盘子数、以及当前盘子至少需要放的苹果数（即上一个盘子放的苹果数，保证非递减）。

   • 边界条件：当剩余盘子数为 1 时，说明前面的盘子都已经分配完毕，剩下的苹果必须全部放入最后一个盘子。由于是非递减序列，只要前面的分配合法，最后一步必然合法，直接方案数加 1 并返回。
   • 枚举与剪枝：对于当前盘子，枚举放入的苹果数 i 。下界是 min_apple，上界则是通过平均值剪枝得出的：为了保证剩下的盘子也能满足非递减条件，当前盘子最多只能放 remain_apple / remain_plate 个苹果。这极大地减少了搜索树的规模。

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 代码分块详细解释

1. 全局变量与函数签名定义

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
int t, m, n; // 定义全局变量t(测试数据组数)、m(苹果数)、n(盘子数)
int ans; // 定义全局变量ans，用来记录当前测试数据的合法方案总数

// remain_apple: 当前还剩下多少个苹果没放
// remain_plate: 当前还剩下多少个盘子没放
// min_apple: 当前这个盘子至少要放多少个苹果（保证非递减，避免重复）
void dfs(int remain_apple, int remain_plate, int min_apple){

• 详细分析：定义了三个全局变量用于主循环控制。dfs 函数是核心搜索函数，参数设计非常精妙：min_apple 参数完美地解决了“盘子相同导致方案重复”的问题，它充当了当前枚举的下界，强制后续的分配不会小于之前的分配。

2. 核心逻辑：边界处理与剪枝枚举

    // 如果只剩下最后1个盘子，剩下的苹果全部放进去，这算作一种合法方案
    if(remain_plate == 1){
        ans++; // 方案数加1
        return; // 结束当前递归分支
    }
    
    // 枚举当前盘子放多少个苹果（从min_apple开始枚举）
    // 剪枝：因为后面还有remain_plate-1个盘子，且每个至少放i个
    // 所以当前最多只能放 remain_apple / remain_plate 个
    for(int i = min_apple; i <= remain_apple / remain_plate; i++){
        dfs(remain_apple - i, remain_plate - 1, i); // 递归搜索下一个盘子
    }
}

• 详细分析：
  • 边界处理：当 remain_plate == 1 时，意味着只剩下一个盘子，此时无论剩下多少苹果，都只能全放进去。由于我们一直在维护非递减序列，只要前面的分配合法，最后一步必然合法，因此直接 ans++ 并返回。
  • 循环与剪枝：for 循环的下界是 min_apple，保证了非递减；上界是 remain_apple / remain_plate，这是极其关键的平均值剪枝。假设还剩 10 个苹果和 4 个盘子，当前盘子最多只能放 10/4=210/4=2 个，因为如果放 3 个，剩下的 7 个苹果分给 3 个盘子，平均值大于 2，必然违反非递减规则。这个剪枝将时间复杂度大幅降低。

3. 主函数：多组数据测试与状态重置

int main(){ 
    ios::sync_with_stdio(false); 
    cin.tie(0); 
    cin >> t; 
    while(t--){ 
        cin >> m >> n; 
        ans = 0; // 每次测试数据开始前，将方案数清零
        dfs(m, n, 0); // 调用dfs开始搜索，初始剩余m个苹果，需放n个盘子，最小从0开始选（允许空盘）
        cout << ans << "\n"; 
    }
    return 0; 
}

• 详细分析：主函数处理多组测试数据。每次调用 dfs 前，必须将全局变量 ans 重置为 0。初始调用时，min_apple 传入 0，完美契合了题目中“允许有的盘子空着不放”的条件。

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核心逻辑总结

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
非递减约束	min_apple 参数传递	记录上一个盘子放的苹果数，作为当前枚举下界	完美解决了“盘子相同导致 (5,1,1) 和 (1,1,5) 重复计数”的痛点
边界快速返回	if(remain_plate == 1)	仅剩一个盘子时直接累加方案数	避免了无意义的深层递归，提升了搜索效率
平均值剪枝	i <= remain_apple / remain_plate	限制当前盘子能放苹果的最大值	极大地缩减了搜索树的规模，防止超时
状态重置	ans = 0	每组测试数据开始前清零计数器	保证多组测试数据之间的独立性，防止答案污染
允许空盘	初始调用 dfs(m, n, 0)	将初始最小苹果数设为 0	满足了题目中“允许有的盘子空着不放”的特殊要求