P13016 [GESP202506 六级] 最大因数

记录129

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q;//定义全局变量q，表示询问的组数
//自定义函数：求节点x的父节点（即x除以它的最小质因数）
int get_par(int x){
	if(x==1)return 0;//特判：根节点1没有父节点，返回0
	for(int i=2;i*i<=x;i++){//从2开始遍历到根号x，寻找x的最小质因数
		if(x%i==0)return x/i;//如果i能整除x，说明i是最小质因数，返回x/i即为最大真因数（父节点）
	}
	return 1;//如果循环结束都没找到因数，说明x是质数，父节点直接返回1
}
//自定义函数：计算两个节点x和y在树上的距离
int get_dis(int x,int y){
	int steps=0;//定义步数计数器，初始化为0
	while(x!=y){//当两个节点还没有相遇（编号不相同）时，持续循环
		if(x>y)x=get_par(x);//如果x的编号更大，让x向上跳到它的父节点
		else y=get_par(y);//如果y的编号更大（或相等但没相遇的情况已被排除），让y向上跳到它的父节点
		steps++;//每跳一次，路径步数加一
	}
	return steps;//当x和y相遇时，返回累计的总步数
}
int main(){//主函数入口
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>q;//读入询问的组数q
	while(q--){//循环处理每一组询问
		int x,y;//定义变量x和y，表示当前询问的两个节点编号
		cin>>x>>y;//读入这两个节点的编号
		cout<<get_dis(x,y)<<"\n";//调用距离计算函数，输出结果并换行
	}
	return 0;//程序正常结束
}

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P13016

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前言

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核心解题思路

这道题表面上是一个关于树和图论的问题，但由于节点数量高达 10^9，传统的建树和最近公共祖先（LCA）算法（如倍增法）会因为空间和时间复杂度过高而直接崩溃。因此，我们需要深入挖掘这棵特殊树的数学性质，将其转化为一个数论与模拟问题。

1. 树的特殊构建规则：
   题目规定，节点 k 的父节点是“除 kk 以外最大的因数”。在数论中，一个数的最大真因数等于该数除以它的最小质因数。例如，60 的最小质因数是 2 ，所以它的父节点是 60/2=30 ；15 的最小质因数是 3 ，父节点是 15/3=5 。
2. 向上跳跃的单调性：
   因为父节点总是等于“原数除以最小质因数”，而最小质因数必定 ≥2 ，所以父节点的值必定严格小于原数。这意味着，沿着父节点向上走，节点的编号是严格单调递减的。
3. 双指针模拟 LCA：
   既然编号是单调递减的，我们在寻找两个节点 x 和 y 的最近公共祖先（LCA）时，根本不需要复杂的倍增数组。只需要比较 x 和 y 的大小，让较大的那个数不断向上跳跃（寻找父节点），直到 x 和 y 相遇即可。相遇的点必然是它们的 LCA，跳跃的总次数就是它们之间的距离。
4. 时间复杂度分析：
   • 寻找一个数的最小质因数（即求父节点）的时间复杂度为 O() 。
   • 每次向上跳跃，节点的值至少减半（因为最小质因数 ≥2 ），所以从 109109 走到根节点 1 ，最多只需要跳跃 log⁡2(10^9)≈30 次。
   • 综合来看，单次查询的时间复杂度极低，完美契合 10^9 的数据规模。

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代码分块详细解释

1. 头文件与全局变量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int q; // 定义全局变量 q，表示询问的组数

• 详细分析：引入万能头文件以使用 STL 库和数学函数。定义全局变量 q 用于控制后续的循环次数。

2. 核心数论函数：求父节点

// 自定义函数：求节点 x 的父节点（即 x 除以它的最小质因数）
int get_par(int x){
    if(x==1) return 0; // 特判：根节点 1 没有父节点，返回 0 作为终止标志
    for(int i=2; i*i<=x; i++){ // 从 2 开始遍历到 sqrt(x)，寻找 x 的最小质因数
        if(x%i==0) return x/i; // 如果 i 能整除 x，说明 i 就是最小质因数。
                               // 根据数论性质，x/i 即为除 x 以外的最大真因数（父节点），直接返回
    }
    return 1; // 如果循环结束都没找到因数，说明 x 本身就是一个质数。
              // 质数的因数只有 1 和自身，所以它的最大真因数必定是 1，直接返回 1
}

• 详细分析：这是整个算法的基石。代码巧妙地利用了“最大真因数 = 原数 / 最小质因数”这一数学等价转换。通过 O()的试除法，我们避免了去枚举所有因数带来的巨大开销。同时，对根节点 1 和质数进行了完美的边界处理，保证了函数的鲁棒性(稳健性)。

3. 距离计算函数：模拟 LCA 过程

// 自定义函数：计算两个节点 x 和 y 在树上的距离
int get_dis(int x, int y){
    int steps = 0; // 定义步数计数器，初始化为 0
    while(x != y){ // 当两个节点还没有相遇（编号不相同）时，持续循环
        if(x > y) x = get_par(x); // 核心贪心策略：如果 x 的编号更大，说明 x 在树上更深，让 x 向上跳到它的父节点
        else y = get_par(y);      // 反之，如果 y 的编号更大，让 y 向上跳
        steps++; // 每发生一次向上跳跃，路径上的边数（步数）加一
    }
    return steps; // 当 x 和 y 相遇时，说明到达了最近公共祖先，返回累计的总步数
}

• 详细分析：这个函数完美替代了传统 LCA 的复杂模板。由于树的节点编号具有“越往上编号越小”的单调性，if(x > y) 的判断实际上就是在比较两个节点的深度。谁更深，谁就先往上爬。这种“双指针”式的模拟不仅代码极其简洁，而且由于每次跳跃至少使数值减半，循环次数被严格限制在对数级别，绝不会超时。

4. 主函数与 IO 处理

int main(){ // 主函数入口
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); // 关闭 C++ 标准流同步，大幅提升大量数据输入输出的效率
    cin >> q; // 读入询问的组数 q
    while(q--){ // 循环处理每一组询问
        int x, y; // 定义变量 x 和 y，表示当前询问的两个节点编号
        cin >> x >> y; // 读入这两个节点的编号
        cout << get_dis(x, y) << "\n"; // 调用距离计算函数，输出结果并换行
    }
    return 0; // 程序正常结束
}

• 详细分析：主函数逻辑清晰，专注于数据的读取与结果的输出。使用 "\n" 代替 endl 避免了不必要的缓冲区刷新，配合 IO 优化，确保了在 q≤1000的询问下，程序能够以极快的速度响应。

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核心逻辑总结表

代码模块	核心变量/操作	精炼作用	解决的痛点
IO 优化	ios::sync_with_stdio(false)	提升输入输出效率	防止在多次循环查询下因 IO 瓶颈导致超时
数论转换	for(int i=2; i*i<=x; i++)	寻找最小质因数	将“求最大真因数”的 O(N) 暴力枚举降维打击至 O()
边界处理	if(x==1) 与 return 1	处理根节点与质数	保证向上跳跃逻辑在任何极端数据下都不会死循环或报错
单调性利用	if(x > y) x = get_par(x)	模拟双指针向上爬树	巧妙利用节点编号单调递减的特性，替代复杂的 LCA 倍增算法
步数累加	steps++	记录路径边数	将抽象的树上距离转化为具体的模拟操作次数，直观且高效