P1876 开灯-优快云博客

记录32

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i*i<=n;i++) if(i*i<=n) cout<<i*i<<" ";
    return 0;
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1876

突破点

首先所有的灯都是关的（注意是关！），编号为 1 的人走过来，把是 1 的倍数的灯全部打开，编号为 2 的人把是 2 的倍数的灯全部关上，编号为 3 的人又把是 3 的倍数的灯开的关上，关的开起来……直到第 N 个人为止。

给定 N，求 N 轮之后，还有哪几盏是开着的。

思路

其实就是把对应编号的倍数，然后把灯的状态取反，一开始是关

假设有一排灯，编号从 1 到 N，最开始所有的灯都是关着的。接下来会有 N 个人依次走过这排灯：

第 1 个人会把所有编号是 1 的倍数的灯（即所有灯）打开。
第 2 个人会把所有编号是 2 的倍数的灯关闭。
第 3 个人会把所有编号是 3 的倍数的灯的状态切换（如果灯是开的就关上，关的就打开）。
依此类推，直到第 N 个人。

最后，我们需要找出哪些灯是开着的。

解决思路

灯的初始状态是关着的，只有被按了奇数次的灯才会最终是开着的。
每盏灯被按的次数等于它的编号的因数个数。例如，编号为 6 的灯会被编号为 1、2、3、6 的人各按一次，总共被按 4 次（偶数次）。
只有因数个数为奇数的灯会被按奇数次，最终保持开着的状态。
因数个数为奇数的情况只发生在平方数上。这是因为平方数的因数是成对出现的，但平方根只算一次。例如，9 的因数是 1、3、9，共 3 个（奇数次）。

最终结论

最后开着的灯的编号一定是平方数。例如：

当 N = 10 时，平方数有 1、4、9，所以最后开着的灯是编号为 1、4、9 的灯。

代码简析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	long long n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i*i<=n;i++) if(i*i<=n) cout<<i*i<<" ";
    return 0;
}

知道思路后，我们只需要对平方数进行处理就行了

找出n内所有的平方数即可

补充

在CSP-J算法竞赛中，良好的数学基础对于解决许多问题至关重要。以下是一些常用的数学处理手段，它们可以帮助你高效地解决竞赛中的问题：

1. 数论

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）：用于解决涉及分数、比例和数论的问题。

素数筛法（埃拉托色尼筛法）：用于快速找到一定范围内的所有素数。

模运算：处理涉及大数的问题，避免整数溢出。

快速幂算法：快速计算大数的幂次，常用于加密算法和数论问题。

2. 组合数学

排列组合：计算排列数和组合数，用于概率计算和计数问题。

容斥原理：解决涉及多个集合的计数问题。

鸽巢原理：用于证明某些情况的存在性。

3. 概率与统计

概率计算：评估事件发生的可能性。

期望值：计算随机变量的平均值。

数据分布：理解数据的分布特性，如均值、中位数、众数等。

4. 序列与数列

等差数列和等比数列：处理涉及序列求和或查找特定项的问题。

斐波那契数列：解决涉及递推关系的问题。

5. 代数

线性方程组：解决涉及多个未知数的问题。

矩阵运算：包括矩阵加法、乘法，用于解决系统方程和图形变换问题。

多项式运算：如多项式加法、乘法和因式分解。

6. 离散数学

图论：处理图的遍历、最短路径和网络流等问题。

集合运算：包括集合的交、并、补运算。

逻辑推理：用于解决涉及命题逻辑和布尔代数的问题。

7. 计算几何

几何形状的性质：如面积、周长、体积的计算。

点、线、面的关系：判断点是否在多边形内，线段是否相交等。

向量运算：包括向量加法、减法、点积和叉积。

8. 动态规划中的数学

状态转移方程：建立动态规划的状态转移关系。

优化技巧：如矩阵快速幂优化线性递推。

9. 数列生成与分析

递推关系：利用递推公式生成数列。

数列求和：计算数列的部分和或总和。

10. 快速傅里叶变换（FFT）

多项式乘法：快速计算两个多项式的乘积。

信号处理：用于音频和图像处理中的频域分析。

掌握这些数学处理手段可以显著提高你在CSP-J算法竞赛中的解题能力。通过实践和练习，你将能够更熟练地应用这些数学工具来解决复杂的问题。