P6352 [COCI 2007/2008 #3] CETIRI

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#算法 #数据结构 #c++ #洛谷 #题解 #COCI

记录22

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)  return a;
    return gcd(b, a % b);
}
int main(){
	int a[10]={};
	for(int i=1;i<=3;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+4);
	int t=gcd(a[2]-a[1],a[3]-a[1]); 
	for(int i=1;i<=4;i++){
		int x=a[1]+(i-1)*t;
		if(a[i]!=x){
			cout<<x;
			break;
		} 
	} 
    return 0;
}

突破点

你原本有 4 个数，它们从小到大排序后构成了等差数列。

但是现在丢失了一个数，并且其余的三个数的顺序也被打乱了。

思路

等差数列公式 an=a1+(n-1)*d

因为是SPJ，所以默认最小的是第一项a1，然后求出来d就行了

用gcd来求d，关于gcd的详细介绍，放在文章的补充部分

代码简析

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)  return a;
    return gcd(b, a % b);
}

gcd求最大公约数，即求等差数列公式 an=a1+(n-1)*d 中的d

    sort(a+1,a+4);
	int t=gcd(a[2]-a[1],a[3]-a[1]);

sort从小到大排序，a+1到a+4是数组的a[1]，a[2]，a[3]

然后t存储的就是等差数列公式中的d

	for(int i=1;i<=4;i++){
		int x=a[1]+(i-1)*t;
		if(a[i]!=x){
			cout<<x;
			break;
		} 
	}

知道a1，知道d，所以依次比对四项，然后输出缺少的那一项

x是其正常排列入的顺序

补充

最大公约数（GCD）详解

1. 最大公约数（GCD）概述

定义：最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

应用：最大公约数在数学和计算机科学中有着广泛的应用，例如简化分数、解决同余方程等。

2. 欧几里得算法

定义：欧几里得算法（Euclidean Algorithm）是一种高效的计算两个整数最大公约数的方法。

原理：基于以下性质：

两个整数 a 和 b（假设 a>b）的最大公约数等于 b 和 amodb 的最大公约数。

当 b 为 0 时，最大公约数为 a。

3. 代码实现

3.1 代码
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)  return a;
    return gcd(b, a % b);
}
3.2 代码解释

函数定义

int gcd(int a, int b)：定义了一个名为 gcd 的函数，接受两个整数参数 a 和 b。

基本情况

if (b == 0) return a;：如果 b 为 0，返回 a。

解释：当 b 为 0 时，根据欧几里得算法的原理，a 就是最大公约数。

递归调用

return gcd(b, a % b);：如果 b 不为 0，递归调用 gcd 函数，参数为 b 和 amodb。

解释：根据欧几里得算法的原理，两个整数 a 和 b 的最大公约数等于 b 和 amodb 的最大公约数。

4. 示例分析

4.1 示例1：计算 GCD(48,18)

初始调用

gcd(48, 18)：

b 不为 0，递归调用 gcd(18, 48 % 18)。

48mod18=12，所以调用 gcd(18, 12)。

第一次递归

gcd(18, 12)：

b 不为 0，递归调用 gcd(12, 18 % 12)。

18mod12=6，所以调用 gcd(12, 6)。

第二次递归

gcd(12, 6)：

b 不为 0，递归调用 gcd(6, 12 % 6)。

12mod6=0，所以调用 gcd(6, 0)。

基本情况

gcd(6, 0)：

b 为 0，返回 a，即 6。

最终，GCD(48,18)=6。

4.2 示例2：计算 GCD(6,9)

初始调用

gcd(6, 9)：

b 不为 0，递归调用 gcd(9, 6 % 9)。

6mod9=6，所以调用 gcd(9, 6)。

第一次递归

gcd(9, 6)：

b 不为 0，递归调用 gcd(6, 9 % 6)。

9mod6=3，所以调用 gcd(6, 3)。

第二次递归

gcd(6, 3)：

b 不为 0，递归调用 gcd(3, 6 % 3)。

6mod3=0，所以调用 gcd(3, 0)。

基本情况

gcd(3, 0)：

b 为 0，返回 a，即 3。

最终，GCD(6,9)=3。

5. 代码完整示例

以下是一个完整的C++程序，展示如何使用 gcd 函数计算两个整数的最大公约数：
#include <iostream>
using namespace std;

// 定义gcd函数
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)  return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    int num1, num2;

    // 输入两个整数
    cout << "请输入两个整数：";
    cin >> num1 >> num2;

    // 调用gcd函数并输出结果
    cout << "最大公约数是：" << gcd(num1, num2) << endl;

    return 0;
}
6. 总结

最大公约数（GCD）：两个或多个整数共有约数中最大的一个。

欧几里得算法：一种高效的计算最大公约数的方法，基于递归调用和模运算。

代码实现：

基本情况：当 b 为 0 时，返回 a。

递归调用：当 b 不为 0 时，递归调用 gcd(b, a % b)。

通过上述步骤，可以清晰地理解最大公约数的计算过程，并使用欧几里得算法高效地实现这一计算。