洛谷 P3819 松江1843路 -优快云博客

本文介绍了一个公交站选址问题，目标是最小化所有居民到公交站的总距离。文章提供了两种解决方案：一种是基于中位数的方法，另一种是利用三分法进行优化。中位数方法通过寻找坐标序列的中位数来确定最优位置；而三分法则搜索可能存在的唯一极小值。

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题目描述

涞坊路是一条长L米的道路，道路上的坐标范围从0到L，路上有N座房子，第i座房子建在坐标为x[i]的地方，其中住了r[i]人。

松江1843路公交车要在这条路上建一个公交站，市政府希望让最多的人得到方便，因此希望所有的每一个的居民，从家到车站的距离的总和最短。

公交站应该建在哪里呢？

输入输出格式

输入格式：

第一行输入L、N。

接下来N行，每行两个整数x[i]和r[i]。

输出格式：

一个整数，最小的每个人从家到车站的距离的总和。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

输入样例#2：

100 2
0 1
100 10

输出样例#2：

输入样例#3：

10000000000 5
3282894320 391
4394338332 929
6932893249 181
7823822843 440
9322388365 623

输出样例#3：

5473201404068

说明

样例解释1

当建在坐标40的时候，所有人距离车站的距离总和为 |20−40|×3+|50−40|×2+|70−40|×1=110。

数据范围和约定

对于10%的数据，1≤N≤50，R[i]=1。

对于30%的数据，1≤N≤100，R[i]≤10，1≤L≤1000。

对于70%的数据，1≤N≤1000，R[i]≤100，1≤L≤10^6。

对于全部数据，1≤L≤10^10，1≤N≤10^5，0≤x[i]≤L，1≤r[i]≤1000

吐槽

　　好久没做在洛谷被标成“普及+/提高”难度的题了，这题难度被标高了……

　　cmath里的abs简直就是一个大坑，当传过去的参数为long long型的时，返回值依然是int！！！

　　因为这个我WA90分，整整两次！

　　对long long取绝对值要algorithm里的std::abs才行，再或者就手写……

解题思路

中位数的思路

　　题目原型是输油管道，在这里，出题人说洛谷7月月赛题目都是改编题果然不假。

　　把每个人所在的位置记录下来，排成一个数列，那么公交站的位置就是这个数列的中位数所在位置。为什么是中位数呢？可以参考输油管道这题“深海鱼的眼泪”的题解.

我把他的题解改了一点——

　　如果只有一个人，那么显然是越近越好。如果有两个人，那么显然是有以下三种情况：

　　　　1.两个人都在公交站左边，那么这个时候的两个人到公交站的长度和肯定大于两个人的坐标之差。

　　　　2.两个人都在公交站右边，和情况1是一样的

　　　　3.两个人，一个在公交站右边，一个在公交站左边，那么两个人到公交车站的长度和就等于两个人的坐标之差。显然情况三是所要的路径和最短的设计情况。就是当公交站在两个人之间的任意位置时，人到公交车站长度之和都等于两个人的坐标之差，是最短的长度。

　　那么将这个结论推广，当有n个人的时候——

　　　　1.n是偶数只要这n个人分布在公交站的两边，每边n/2个，那么就是距离之和最小的。

　　　　2.n是奇数，只要将这n个人中，坐标最中间的（也就是中位数的那个）井不算，其余的偶数个人分布在公交站的两侧，这个时候移动公交站，那么这n个人到公交车站长度之和就决定于那个没有算的人了，因为其余的井的距离之和是固定了的，这个时候只要公交站最接近中间那个人就好了。

　　也就是说，公交车站的位置就是最中间的那个人（或中间的区间）。

　　将各个人的坐标排序，再取 n/2+1 的位置，即最中间的位置。最后统计答案即可。

三分的思路

　　设f(x)为公交站设在x处时所有人到公交站距离之和，那么有可能f(x)在[1,L]上很有可能只有一个极小值(我不会证，但这个思路可以通过所有数据点，耗时为上面那个思路的一半)，那个极小值就是答案。求那个极小值就能用三分法了。这个思路来自洛谷讨论区huxulin，下面的代码也是他的。

源代码

中位数思路的代码

#include<algorithm>
#include<cstdio>

struct house{
    long long x,num;
    bool operator < (const house & a) const{
        return x<a.x;
    }
}h[100010];
long long n,sum=0;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&h[i].x,&h[i].num),sum+=h[i].num;
    std::sort(h+1,h+1+n);
    long long s=0,mid=(sum>>1)+1,pos;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s+=h[i].num;
        if(s>=mid)
        {
            pos=h[i].x;
            break;
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=std::abs(h[i].x-pos)*h[i].num;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

三分的代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

typedef long long LL;

static const int maxm = 2e6 + 10;
static const LL INF = 1LL << 62;

LL r[maxm],x[maxm],A[maxm];
LL L,ans,mind = INF;
LL n;

LL abs(LL x){
    return x > 0 ? x : -x;
}

LL f(LL D){
    LL ret = 0;
    for(LL i = 1;i <= n;i++) ret += abs(D * r[i] - x[i] * r[i]);
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&L,&n);
    for(LL i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld%lld",&x[i],&r[i]);

    LL l = 0,r = L;

    while(l <= r){
        LL mid = (l + r) >> 1;
        LL mmid = (mid + r) >> 1;
        if(f(mid) < f(mmid)) ans = mid,r = mmid - 1;
        else ans = mmid,l = mid + 1;
    }

    for(LL i = ans - 100;i <= ans + 100;i++)
        mind = std :: min(f(i),mind);

    printf("%lld\n",mind);
    
    return 0;
}