从贝叶斯角度看正则化

Regularization: A Bayesian point of view

Introduction

​ 正则化(regularization)是防止模型过拟合(overfitting)的 有效方式之一。常用的正则化包括L1正则和L2正则，我们知道使用L1正则化的回归对应LASSO(最小绝对收缩选择因子)回归，使得参数稀疏化，倾向于产生稀疏模型，是一种嵌入式特征选择方法，其特征选择过程和学习器训练过程融为一体，同时完成。而L2正则化对应岭回归，倾向于选择使各个参数尽可能小的模型，L2正则化更平滑，在可解释性方面差于L1正则化，但是L2能更好的防止过拟合。下面主要从贝叶斯理论的角度理解正则化。

Linear regression

Ordinary linear regression采用均方误差，hypothesis $f(x) = {w^T}x $ ,通过最小化均方误差（观测值与预测值的残差平方）来训练模型参数，即
$$w=\underset{w}{\mathrm{argmin}}\sum _{\mathrm{i}=1}^m{(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)})}^2$$
下面我们假设第i个样本上的误差${}^{(i)}=y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}$ 服从gaussian分布，即
$$p\left({ϵ}^{(i)}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\delta }\exp \left(-\frac{{\left({ϵ}^{(i)}\right)}^2}{2{\delta }^2}\right)$$
​ 于是
$$p\left(y^{(i)}|x^{(i)};\theta \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\delta }\exp \left(-\frac{{\left(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}\right)}^2}{2{\delta }^2}\right)$$
由最大似然估计（MLE）
$$\begin{array}{rl}L(w)& =p(\vec{y}|X;w)\\ & =\prod _{i=1}^{m}p\left(y^{(i)}|x^{(i)};\theta \right)\\ & =\end{array}$$