# 769 D（ST表+二分+贪心

原创已于 2022-02-01 15:50:44 修改 · 465 阅读

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#贪心算法 #算法

于 2022-02-01 15:46:16 首次发布

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这篇博客介绍了如何利用动态规划和贪心策略解决一个数学问题，即给定一个序列，定义一个序列是坏序列当其区间最大公约数等于区间长度。文章详细阐述了思路，通过预处理区间最大公约数并采用二分查找找到坏序列，然后用贪心策略最小化修改序列的次数来消除坏序列。代码示例展示了具体的实现过程。

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题意：
定义一个序列是坏序列： $gcd(a_l,a_{l+1}...a_r) = r - l + 1$ ，即区间 $g c d$ 等于区间长度
给定一个序列 $a$ ，定义 $f (i)$ 是将 $a_1,a_2,...a_i$ 这段前缀序列，变成不含坏序列的操作次数，每次操作可以选定任意一个数进行修改
思路：
$g c d ()$ 里边的数不断增加时， $g c d$ 是非递增的
假设当前区间为 $[l, r]$ ，此时 $gcd(a_l,a_{l+1},..a_r)=r-l+1$ ，如果后拓展一个数，区间长度不断增加，而 $g c d$ 非递增，往后不可能出现交集。
这时我们可以发现一个性质，一个端点 $l$ ，至多只存在一个端点 $r$ 使得这个区间是坏的
这时我们可以考虑枚举左端点 $l$ ，二分右端点 $r$ ，找出所有可能的 $b a d$ 区间，用 $v e c t o r$ 存下所有右端点对应的左端点，
可以采用 $S T$ 表预处理出区间 $g c d$ 方便二分
剩下的问题是最小化修改次数，我们可以采用贪心策略
枚举右端点 $i$ 考虑是否需要修改，对于该右端点的所有左端点，如果出现一个左端点大于上次修改的点，也就是之前的修改点没有包含在这个区间内，这时修改 $a_i$ 为大质数，答案 $+ 1$ ，更新上一次修改的数的位置
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 9;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;
int Log[maxn];
int stgcd[maxn][30];
int a[maxn];
vector <int> v[maxn];

int find(int l, int r)
{
	int s = Log[r - l + 1];
	int d = __gcd(stgcd[l][s], stgcd[r-(1<<s)+1][s]);
	return d;
}
int check(int l, int r)
{
	return find(l, r) - (r - l + 1);
}
void work()
{
	for(int i = 2; i <= maxn - 9; ++i) Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		cin >> a[i];
		stgcd[i][0] = a[i];
	}
	for(int j = 1; j <= 21; ++j)
		for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; ++i)
			stgcd[i][j] = __gcd(stgcd[i][j-1], stgcd[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int l = i, r = n;
		while(l < r)
		{
			int mid = (l + r + 1) >> 1;
			int x = check(i, mid);
			if(x >= 0) l = mid;
			else r = mid - 1; 
		}
		if(check(i, l) == 0) v[l].push_back(i);
	}
	int pos = -1, ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for(auto x : v[i]){
			if(x > pos){
				++ans;
				pos = i;
			}
		}
		cout << ans << " "; 
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
//	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}