Music Problem 背包dp +（抽屉原理 || 二进制优化）

原创已于 2022-01-30 09:59:37 修改 · 640 阅读

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#动态规划 #算法 #c++

于 2022-01-29 18:04:06 首次发布

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本文针对MusicProblem问题，提出三种高效算法解决方案。首先介绍了一种基于抽屉原理的数学优化方法，适用于n大于等于3600的情况；其次，提出了利用二进制优化思路来处理一般情况，有效提升了求解效率；最后，介绍了使用betset进行状态压缩优化的方法，进一步减少了计算资源消耗。

Music Problem
思路：
常规思路：
模数取 $3600$ ，很容易想到 $T * n * 3600$ 的做法，空间上优化第一维，但时间复杂度太大
数学优化：
题解有人讲到抽屉原理：一个由 $n$ 个数组成的数列一定能找出若干个连续的数使它们之和能被 $n$ 整除。特判掉 $n > = 3600$ 的情况，常规思路就可以通过了，我直呼 $N B$ ，不愧是清华的大佬
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
const int mod = 3600;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;
int f[2][4000];

void work()
{
	cin >> n;
	if(n >= 3600){
        for(int i = 1, x; i <= n; ++i) cin >> x;// 这里要读完再输出，不然会wa
        cout << "YES" << endl;return;
    }
	for(int i = 0; i <= mod; ++i)
		for(int j = 0; j < 2; ++j)
			f[j][i] = 0;
	int op = 1;
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i, op ^= 1){
		cin >> x;
		x %= mod;
		f[op][x] = 1;
		for(int j = mod - 1; j >= 0; --j){
			f[op][j] = max(f[op][j], f[op^1][j]);
			int k = (x + j) % mod;
			f[op][k] = max(f[op][k], f[op^1][j]);
		}
	}
	cout << (f[op^1][0] ? "YES" : "NO") << endl;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}

二进制优化思路：
把 $a_i \ \% \ mod$ 分成 $m o d$ 组，然后一组有 $c_i$ 个数，然后类似多组背包二进制优化的方法，可以很快的通过，很好用的优化思路，可以直接莽这个方法
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 9;
const int mod = 3600;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;
int f[2][4000];
int cnt[4000];
void work()
{
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < mod; ++i)
		for(int j = 0; j < 2; ++j)
			f[j][i] = 0;
	for(int i = 0; i < mod; ++i) cnt[i] = 0;
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i) cin >> x, cnt[x%mod]++;
	if(cnt[0]){// 速度大幅提升主要是因为这个
		cout << "YES\n";return;
	}
	int op = 1;
	for(int i = 1; i < mod; ++i){
		if(!cnt[i]) continue;
		vector <int> v;
		int c = cnt[i];
		for(int j = 1; j <= c; j <<= 1)
		{
			v.push_back(i * j % mod);
			c -= j;
		}
		if(c) v.push_back(i * c % mod);
		for(auto d : v)// 把c拆成 v.size() 个数，用这几个数进行dp
		{
			f[op][d] = 1;
			for(int j = mod - 1; j >= 0; --j)
			{
				f[op][j] = max(f[op][j], f[op^1][j]);
				int k = (d + j) % mod;
				f[op][k] = max(f[op][k], f[op^1][j]);
			}
			op ^= 1;// 因此 op 在这
		}
	}
	cout << (f[op^1][0] ? "YES" : "NO") << endl;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}

betset优化：
因为只有 $3600$ 个数，可以用 $b i t s e t$ 实现状压
因为要 $+ j$ ，所以把上一层状态所有数都左移 $j$ 位，原来位置是 $i$ 的 $1$ ，或一下就可以转移到 $i + j$ 上
因为加的过程中会取模
在这里插入图片描述
因此 $a$ 这段 $+ x$ 取模会到 $b$ 这段，所以右移 $m o d - x$ 位就可以把 $a$ 这段转移到 $b$ 上
code：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ld long double
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define eps 1e-6
using namespace std;
const int maxn = 4e3 + 9;
const int mod = 3600;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, m;

void work()
{
	cin >> n;
	bitset <maxn * 2> f;// 一般开个乘2就行
	for(int i = 1, x; i <= n; ++i){
		cin >> x; x %= mod;
		f |= f << x | f >> (mod - x);
		f[x] = 1;
	}
	cout << (f[0] ? "YES" : "NO") << endl;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	int TT;cin>>TT;while(TT--)
	work();
	return 0;
}