普通快速幂取模 && 大数快速幂取模（幂超 long long

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/cosx_/article/details/109192130

本文介绍了取模运算法则及快速幂算法实现，并通过代码示例详细解释了如何高效计算大整数幂次模运算，包括普通快速幂和优化版大整数快速幂。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

有关取模公式

(a * b)% c = (a%c) * (b%c) % c
a^b % c = (a % c)^b % c

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll ;
ll qmod(ll a,ll n,ll k)
{
	ll ans = 1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ans =( ans * a ) % k; 
		a = a * a % k; //  不能写成   a *= a % k
		n = n >> 1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll x,y,z;
	cin >> x >> y >> z;
	cout << qmod(x,y,z);
	return 0;
}


不会爆的模板

LL qpow(LL x,LL y,LL m)//二分思想  
{
	x=x%m;//防止第一个x*x就爆掉longlong 
	LL ans=1;//记录答案 
	while(y)// 注意如果y=0的话不会进入循环 
	{
		if(y&1)//判断y是否是单数 
		{
			ans=ans*x;
			ans=ans%m;
		}
		x=x*x;
		x=x%m;
		y=y>>1;
	}
	ans=ans%m;//防止出现特殊数据：1^0%1=0的情况 
	return ans;
}

优化版大整数快速幂，O(nlogn)，推荐使用！
求 $a^{n} \ \% \ mod$
其实很好理解
比如我们要求 $2^{123}$ ，首先我们尾指针指向 $3$ ，然后 $ans=ans * 2^{3}$ ，然后指向 $2$ ， $ans=ans*(2^{10})^{2}$ ，最后指向 $1$ ， $ans=ans*(2^{100})^1$ ，最后得到就是 $2^{123}$ 。

code：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;

ll q_pow(ll a, ll n){//  就是普通快速幂 
	ll ans = 1;while(n){
		if(n & 1) ans=(ans*a)%mod;n>>=1;a=(a*a)%mod;
	}return ans;
}

ll quickmod(ll a, char *n, int r)// 求a的n次方，r是尾指针 
{
    ll ans = 1;
    while(r >= 0)// 倒着枚举次幂 n 的每一位 
	{
        ll x = n[r] - '0';
    	ans = ans * q_pow(a, x) % mod;
        a = q_pow(a, 10);
        --r;
    }
    return ans;
}

int main()
{
	char s[100009]; 
    int a;
    while(~scanf("%d",&a))         //求a^s%mod
    {
        scanf("%s", s);
        int len = strlen(s);
        printf("%lld\n", quickmod(a, s, len - 1));
    }
    return 0;
}