【洛谷】3月月赛T4-序列-贪心构造&DP

传送门：luoguP5241

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题解

一波找规律尝试出$n^4$分做法，然而实际上是个贪心构造转DP：

考虑如何构造出一组合法序列：

首先让所有边首尾相连形成链，如果SCC数量产生变化，就缩链上开头的一部分。

在兼顾SCC数量变化的同时，其它边均贪心地用于串链，直到所有点都被串在了链上——这时就可以随便连了。

在没有将全部点串起来之前，设$f[i][j][k]$表示已经串起了前$i$个点，SCC数量变化了$j$次，前$k$个点缩在一起的方案数

在所有点串起来之后，设$g[i][j]$表示连了$i$条边，前$j$个点缩在一起的方案数。(注意$i\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{2}\right)$)

$f,g$转移均可以前缀和优化，复杂度$O(n^3)$

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=405,mod=1e9+7;

int n,f[N][N],g[N*N][N],ans[N*N];

inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod) x-=mod;}
inline void dc(int &x,int y){x-=y;if(x<0) x+=mod;}

int main(){
	int i,j,k,l,v,bs;f[0][1]=1;
	scanf("%d",&n);bs=n*(n-1)>>1;
	for(i=1;i<n;++i){
	 for(j=0;j<i;++j)
	  for(k=j+1;k<=i;++k)
	   ad(ans[i-1+j],f[j][k]);
	  if(i+1==n) break;
	 for(j=0;j<i;++j){
	  for(v=0,k=j+1;k<=i;++k)
	    {ad(f[j+1][k],v);ad(v,f[j][k]);}
	  ad(f[j+1][i+1],v);
     }
    }
     for(j=0;j+1<n;++j)
      for(k=j+1;k<n;++k)
       ad(g[n-1+j][k],f[j][k]);
    for(i=n-1;i<=n*(n-1);++i){
	  for(j=1;j<=n;++j) ad(ans[i],g[i][j]);
      if(i==n*(n-1)) break;
      for(j=1;j<=n;++j)
      	if(bs+(j*(j-1)/2)>i) ad(g[i+1][j],g[i][j]);
	  for(v=0,j=1;j<=n;++j){
	  	 ad(g[i+1][j],v);ad(v,g[i][j]);
	  }
	}
	for(i=1;i<=n*(n-1);++i){
		printf("%d",ans[i]);
		if(i<n*(n-1)) putchar(' ');
	}
	return 0;
}