【BZOJ】3784: 树上的路径-点分治序+ST表

传送门:bzoj3784

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题解

前$k$大比较好做(之前看成前$k$小了)

所有的最优前k步问题最终都转成了bzoj2006: [NOI2010]超级钢琴…

如何将序列上问题转到树上，并维护本质不同的拓展呢？

考虑点分治，把树上问题转回点分治序上的问题：
对于序列中的每个点$i$，权值$v_i=dis(v_i,i的分治重心)$，对于$i$可与其组合的点$j$满足：

1. 属于同一个分治重心
2. $i,j$不在分治重心的某个子结点的同一子树内
   这样的$j$就是在点分治序上是连续的两段，由于$(i,j),(j,i)$等价，所以固定某个方向的一段即可。

在优先队列中维护这样的四元组$(u,l,r,p)$表示点$u$可选范围为$[l,r]$且其中值最大的为$v_p$，按$v_i+v_p$降序排序。

拓展$(u,l,r,p)\to (u,l,p-1,max(l,p-1)),(u,p+1,r,max(p+1,r))$
$ST$表维护区间最大值。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50010,M=1e6+10;

int n,m,d[M],mx[20][M],bel[M],brt[M],lg[M];
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],w[N<<1],tot;
int df[N],ot[N],sz[N],dfn,S,MN,rt,nw;
bool vs[N];

inline int ask(int l,int r)
{
	int bs=lg[r-l+1],x=mx[bs][l],y=mx[bs][r-(1<<bs)+1];
	return d[x]>d[y]?x:y;
}

struct P{
    int u,l,r,p,v;
    P(){};
    P(int u_,int l_,int r_){u=u_;l=l_;r=r_;p=ask(l,r);v=d[u]+d[p];};
    bool operator <(const P&ky)const{return v<ky.v;}
}dg;
priority_queue<P>que;

inline void lk(int u,int v,int vv)
{to[++tot]=v;nxt[tot]=head[u];head[u]=tot;w[tot]=vv;}

void fdrt(int x,int fr)
{
	int i,j,mxx=0;sz[x]=1;
	for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
		j=to[i];if(j==fr || vs[j]) continue;
		fdrt(j,x);sz[x]+=sz[j];
		mxx=max(mxx,sz[j]);
	}
	mxx=max(mxx,S-sz[x]);
	if(mxx<MN) MN=mxx,rt=x;
}

void dfs(int x,int fr,int dis)
{
	int i,j;
	d[(df[x]=++dfn)]=dis;
	brt[dfn]=nw;mx[0][dfn]=dfn;
	for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
		j=to[i];if(j==fr || vs[j]) continue;
		dfs(j,x,dis+w[i]);
	}
	ot[df[x]]=dfn;
}

void col(int x,int fr)
{
	int i,j;bel[df[x]]=nw;
	for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
		j=to[i];if(j==fr || vs[j]) continue;
		col(j,x);
	}
}

void divide(int x)
{
	int i,j,sum=S;vs[x]=true;
	nw=dfn+1;dfs(x,0,0);
	for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
		j=to[i];if(vs[j]) continue;
		nw=df[j];col(j,x);
	}
	for(i=head[x];i;i=nxt[i]){
		j=to[i];if(vs[j]) continue;
		S=sz[j]<sz[x]?sz[j]:sum-sz[x];MN=N;
		fdrt(j,x);divide(rt);
	}
}

int main(){
	int i,j,x,y,z;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<n;++i){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);lk(x,y,z);lk(y,x,z);}
	S=n;MN=N;fdrt(1,0);divide(rt);
	for(i=2;i<=dfn;++i) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(j=1;(1<<j)<=dfn;++j)
		for(i=1;i+(1<<j)-1<=dfn;++i){
			x=mx[j-1][i];y=mx[j-1][i+(1<<(j-1))];
			mx[j][i]= d[x]>d[y]?x:y;
		}
	for(i=1;i<=dfn;++i) if(bel[i]){
		if(brt[i]<bel[i]) que.push(P(i,brt[i],bel[i]-1));
//		if(ot[brt[i]]>ot[bel[i]]) que.push(P(i,ot[bel[i]]+1,ot[brt[i]]));
	}
	for(;m;--m){
		dg=que.top();que.pop();printf("%d\n",dg.v);
		if(dg.l<dg.p) que.push(P(dg.u,dg.l,dg.p-1));
		if(dg.r>dg.p) que.push(P(dg.u,dg.p+1,dg.r));
	}
	return 0;
}