【模板】矩阵快速幂

传送门:洛谷-矩阵快速幂


给定n*n的矩阵A,求A^k。
n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000


代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define f(x,a,b) for(int x=a;x<=b;x++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=1e9+7;
int n;ll k;
struct Mat{ 
    ll Ar[101][101];
    void itl(){
        f(i,1,n){
            f(j,1,n){
                if(i==j)
                Ar[i][j]=1;
                else 
                Ar[i][j]=0;
            }
        }
    }
    void clr(){
        f(i,1,n){
            f(j,1,n){
                Ar[i][j]=0;
            }
        }
    }
}op;

Mat operator  * (const Mat A,const Mat B)
{
    Mat u;u.clr(); 
    f(i,1,n){
      f(j,1,n){
        f(k,1,n){
            u.Ar[i][j]=(u.Ar[i][j]+A.Ar[i][k]*B.Ar[k][j] % MOD) % MOD;
        }
      }
    }
    return u;
}

inline Mat MatrixPow(Mat a,ll b)
{
    Mat ret;ret.itl();
    while(b){
        if(b&1){
            ret=ret*a;
        }
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&k);//ll
    f(i,1,n){
        f(j,1,n){
            scanf("%lld",&op.Ar[i][j]);
        }
    }
    op=MatrixPow(op,k);
    f(i,1,n){
        f(j,1,n){
            printf("%lld ",op.Ar[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
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