快速幂取模

最新推荐文章于 2025-03-30 19:45:32 发布

小小小小葱

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分类专栏：数学

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本文介绍了两种快速幂取模的方法，一种来自《算法导论》，通过迭代计算二进制位来实现；另一种则是通过直接利用二进制表示，对每个有效位进行相应的幂运算并取模。

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前几天做一个题都快做出来了，结果就是不会快速算幂导致超时。。

快速幂取模我看了2种方法。

首先有公式:

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

1.算法导论里的，算a^b mod n，设b[k]是b二进制的最高位（不算符号位）。

Modular-Exponentiation(a, b, n) 
1. c = 0 
2. d = 1 
3. 设<b[k],b[k-1],..b[0]>是b的二进制表示 
4. for i=k downto 0 
5. do c = 2c 
6. d = (d*d) mod n 
7. if b[i] = 1 
8. then c = c + 1 
9. d = (d*a) mod n 
10. return d

这里面c其实是没用的，只是在模拟从0到b的过程，c等于b的二进制的前缀，d一直都是a^c mod n。一开始c=0，d=a^0 mod n=1。每次迭代c=2c，所以d=d*d，如果b那一位是1的话就还要再乘以a才能保持d一直是a^c mod n。

到最后c等于b，d就是a^b mod n了。

2.把b变成2进制的形式，比如a^11，b=11，二进制为1011=2^0+2^1+2^3，所以a^b=a^(2^0+2^1+2^3)= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)。因此可以设一个t，每次迭代t=a^(2^i)，如果b的二进制第i位（从低往高）不是0，就乘以t。

下面的代码是算x^n，M是要取的模，res是答案，t一开始为a^(2^0)%M，每次迭代n右移一位，使当前要判断的位在最右边，n&1是判断n是否为1。

long long bigpow(int x,int n, int M){
    long long res=1,t=x%M;
    while(n){
        if(n&1){
            res=(res*t)%M;
        }
        t=(t*t)%M;
        n>>=1;
    }
    return res;
}