线性筛素数线性筛欧拉函数

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本文深入探讨了线性筛算法在求解欧拉函数的应用，通过逐个筛除合数并利用其最小素因子进行优化，实现线性时间复杂度的高效计算。同时介绍了欧拉函数的基本性质，包括对于素数、幂次和互质数的特殊情况，以及如何通过线性筛算法简化计算过程。

线性筛素数的思想：把合数用它最小的素因子筛掉，因为每个数被唯一的筛掉一次，所以是线性的。

比如：4被2筛掉（2*2），6被2筛（3*2），8被2筛（4*2），9被3筛（3*3）。。。

void prime_table(){
    int k=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) prime[k++]=i;
        for(int j=0;j<k&&i*prime[j]<=N;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

具体体现在if(i%prime[j]==0) break; 也就是说，若i%prime[j]==0，当筛掉i*prime[j]之后就不再去筛i*prime[j+1]。为什么呢？因为这时i可以写成prime[j]*k，i*prime[j+1]=prime[j]*k*prime[j+1]，设x=k*prime[j+1]，则i*prime[j+1]=x*prime[j]，说明之后循环到x的时候会把i*prime[j+1]筛掉，目前不用筛。

线性筛欧拉函数也是利用这种思想。

欧拉函数的几点性质：

1.若x为素数，phi[x]=x-1。

2.若x为素数，phi[x^p]=x^p-x^(p-1)。由此可得到phi[x^(p+1)]=phi[x^p]*x。

3.若x,y]互质，phi[x*y]=phi[x]*phi[y]。

线性筛欧拉函数过程：

若i是素数，直接phi[i]=i-1。

否则：

1.若i%prime[j]!=0，因为prime[j]是素数，所以i和prime[j]互质，根据性质3，phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)。

2.若i%prime[j]==0，设i=p1^n1*p2*n2...*prime[j]^nj... i*prime[j]=p1^n1*p2*n2...*prime[j]^(nj+1)...根据性质3，phi[i]=phi[p1^n1]*phi[p2^n2]...*phi[prime[j]^nj]... phi[i*prime[j]]=phi[p1^n1]*phi[p2^n2]...*phi[prime[j]^(nj+1)]... 根据性质2，phi[prime[j]^(nj+1)]=phi[prime[j]^n]*prime[j]，因此phi[i*prime[j]=phi[i]*prime[j]。

void phi_table(){
    int k=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[k++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<k&&i*prime[j]<=N;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}