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数字化对偶组合学与凸集情况研究
高斯数字化数量的初步界定
在研究连续对象的数字化问题时，高斯数字化的数量是一个关键指标。通过整数平移的方式，高斯数字化的数量上限可由公式 $2 a(\Gamma)$ 给出，其中 $a(\Gamma)$ 表示曲线 $\Gamma$ 所穿过的瓷砖数量。不过，这种数字化枚举方式存在一些问题，比如会产生误判和重复计数的情况。
以直径为 1.7 的圆为例，其网格边界涉及的像素数量会根据网格位置的不同，在 4 到 8 个之间变化。按照上述公式，其上限为 16，但实际上只有 8 种数字化结果。不过，我们可以通过一些方法来避免这些问题，比如用希尔伯特曲线族替换初始边界，构建一个新的集合以避免误判；还可以对集合进行扩展，防止重复计数，从而得到理论上的上限 $2B$。
通过计数交点进行上限界定
为了更精确地界定数字化的数量，我们可以采用计数曲线交点的方法。假设曲线 $\Gamma$ 是参数化的，这会在曲线 $\Gamma$ 的点上诱导出一个顺序，这个顺序在后续的命题证明中会起到重要作用。
对偶 $\phi_S$ 可以看作是瓷砖 $C$ 的有限标记分区在环面 $T$ 上的投影，该分区的单元格不一定是连通的。对于分区的细化顺序，这个分区的下界是与指示函数 $1_{lp}$（$p \in B$）相关联的二元分区 $P_p$ 的下确界。当对应的数字化在整数平移下等价时，一些单元格需要合并。
下面是具体的定义和命题：
-
定义 1
：设 $B = {b_1, \cdots, b_i, \cdots, b_n}$（$n \geq 1$），$m \in [2, n]$。则有：
- $inter_{\gamma,I} = CC\left(\gamma \cap \left(\bigcup_{i \in I} \Gamma_{b_i} \setminus \bigcup_{j \in J} \Gamma_{b_j}\right)\right)$，其中 $\gamma \in CC(\Gamma_{b_m})$ 且 $I \sqcup J = [1, m - 1]$。
- $# inter_m = \sum_{\gamma \in CC(\Gamma_{b_m})} \sum_{\varnothing \subset I \subseteq [1,m - 1]} w_I |inter_{\gamma,I}|$，其中 $w_I = \min(|I|, 2)$。
这里需要注意的是，所有 $inter_{\gamma,I}$ 的组件两两不相交，并且 $# inter_m$ 可能是无穷大。$inter_{\gamma,I}$ 表示曲线 $\gamma$ 与索引在子集 $I$ 中的曲线的交集，同时排除索引不在 $I$ 中的其他曲线。
-
命题 2
：分区 $\bigcap_{p \in B} P_p$ 的大小上限为：
$2 + \sum_{m = 2}^{n} # inter_m + |CC(\Gamma_{b_m})|$
该命题通过归纳法进行证明：
- 当 $m = 1$ 时，由于对于任何 $p \in B$，$P_p$ 是二元分区，结果显然成立。
- 当 $m > 1$ 时，假设分区 $\bigcap_{i = 1}^{m - 1} P_{b_i}$ 的单元格数量上限为 $2 + \sum_{k = 2}^{m - 1} # inter_k + |CC(\Gamma_{b_k})|$。分区 $\bigcap_{i = 1}^{m - 1} P_{b_i}$ 中包含在 $P_{b_m}$ 的两个单元格之一（即集合 $(1_{lb_m} = 0)$ 和 $(1_{lb_m} = 1)$）中的单元格，在分区 $\bigcap_{i = 1}^{m} P_{b_i}$ 中保持不变。而被 $(1_{lb_m} = 0)$ 和 $(1_{lb_m} = 1)$ 同时相交的单元格，会被 $\Gamma_{b_m}$ 分割成两个新的单元格。新单元格的数量 $N_m$ 上限为 $N_m’$，即分区 $\bigcap_{i = 1}^{m - 1} P_{b_i}$ 中被 $\Gamma_{b_m}$ 相交的单元格数量。分区 $\bigcap_{i = 1}^{m - 1} P_{b_i}$ 会在 $\Gamma_{b_m}$ 上诱导出一个分区 $Q$，其单元格数量为 $N_m’$。通过将 $Q$ 的每个单元格映射到其在曲线 $\Gamma$ 参数化诱导顺序下的上确界所属的交集（根据定义 1），或者在不存在这样的交集时映射到空集，经过对不同情况的仔细分析，可以得出 $N_m’$ 的上限为 $# inter_m + |CC(\Gamma_{b_m})|$。
在最简单的情况下，当曲线段 $\Gamma_{b_m}$ 都只有一个连通分量，且交点属于最多两条曲线时，上述公式可简化为 $1 + |B| + I$，其中 $I$ 是曲线段 $\Gamma_{b_m}$ 之间的交点数量。此外，当将分区 $\bigcap_{i = 1}^{n} P_{b_i}$ 投影到环面 $T$ 上时，与瓷砖 $C$ 边界接触的单元格会两两合并，从而减少分区中的单元格数量，但在一般情况下，很难对这些单元格进行计数。
下面是一个 mermaid 格式的流程图，展示命题 2 的证明思路：
graph TD;
A[开始] --> B[m = 1, 结果显然成立];
B --> C[m > 1, 假设已知 m - 1 情况];
C --> D[分析分区单元格变化];
D --> E[确定新单元格数量上限 Nm'];
E --> F[映射单元格到交集];
F --> G[分析不同情况得出 Nm' 上限];
G --> H[得出命题 2 结论];
H --> I[结束];
凸集情况
直观上，当集合 $S$ 是凸集时，其对偶结构应该比边界曲折的集合更简单。我们甚至希望在缝合瓷砖 $C$ 的边界后，数字化结果能与分区 $\bigcap_{p \in B} \Gamma_p$ 的单元格以及由曲线 $\Gamma$ 划定的环面 $T$ 的连通区域相吻合。然而，实际情况并非如此，如图 4 所示，一个凸三角形的某个数字化结果的对偶逆像并不连通。
不过，当集合 $S$ 是严格凸集时，集合 $inter_{\gamma,I}$ 的结构会变得简单，并且可以得到关于对偶复杂度的二次界，这与命题 1 的指数界形成对比。
- 命题 3 ：假设存在一个凸四边形结构元素 $M$，设 $n = |B|$。一个严格凸平面物体在平移下的高斯数字化数量上限为 $4n^2 + 4n - 6$。
该命题的证明过程如下：
设数字化数量为 $N$，根据命题 2 有 $N \leq 2 + \sum_{m = 2}^{n} # inter_m + |CC(\Gamma_{b_m})|$。由引理 3 可知，对于任何 $m \in [1, n]$，$\gamma \in CC(\Gamma_{b_m})$，$i \in [1, m - 1]$，有 $\sum_{I \ni i} |inter_{\gamma,I}| \leq 2 |CC(\Gamma_{b_i})|$。由此可得 $# inter_m \leq 2 \sum_{k = 1}^{m - 1} |CC(\Gamma_{b_k})|$。最终，不等式变为 $N \leq 2 + 2 \sum_{m = 2}^{n} \sum_{k = 1}^{m - 1} |CC(\Gamma_{b_k})| + \sum_{m = 2}^{n} |CC(\Gamma_{b_m})| \leq 2\left(1 + \sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1) |CC(\Gamma_{b_k})| - |CC(\Gamma_{b_1})|\right)$。对于任何凸曲线 $\Gamma$ 和任何具有 $c$ 条边的凸多边形 $P$，$\Gamma \cap P$ 中的连通弧数量上限为 $c$。假设瓷砖 $C$ 是凸四边形，就能直接得到所需的界限。
当分辨率足够高时，命题 3 中的 $4n^2$ 项会简化为 $n^2$，因为此时每条曲线 $\Gamma_{b_i}$ 只有一个连通分量，而不是一般情况下的可能 4 个。当 $S$ 是半径为 $r$ 的圆盘时，命题 3 的结果与另一个结论（圆盘的数字化数量渐近为 $4\pi r^2 + O(r)$）相近。由于圆盘半径 $r$ 与网格边界大小的比例为 $\pi/4$，我们关于圆盘半径 $r$ 的上限渐近等同于 $(16 / \pi^2) r^2$。
下面是一个表格，总结上述三个命题的相关信息：
| 命题 | 内容 | 上限公式 | 适用情况 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 命题 1 | 高斯数字化数量上限 | $2 a(\Gamma)$ | 一般情况，存在误判和重复计数 |
| 命题 2 | 分区大小上限 | $2 + \sum_{m = 2}^{n} # inter_m + |CC(\Gamma_{b_m})|$ | 通过计数交点界定数字化数量 |
| 命题 3 | 严格凸平面物体数字化数量上限 | $4n^2 + 4n - 6$ | 凸集情况 |
综上所述，我们得到了两种关于连续对象所有平移下数字化数量的上限界定方法。第一种方法在对象边界像素数量上是指数级的，并且给出了达到该界限的通用示例；第二种方法基于从对偶连通分量计数到曲线交点计数的转换，在凸集情况下，该上限在网格边界大小上是二次的。未来的研究方向包括在更宽松的假设（如有界曲率）下明确第二种上限，研究刚性变换下数字化的组合学，并提出数字化生成的算法。
数字化对偶组合学与凸集情况研究（续）
相关引理证明
在证明命题 3 时，我们使用了引理 3，而引理 3 的证明又依赖于另外两个关于凸集的引理，下面我们来详细证明这几个引理。
引理 1（凸集的弦）
设 $[a, b]$ 是闭凸集 $S$ 边界 $\Gamma$ 的一条弦，如果 $[a, b] \nsubseteq \Gamma$，那么 $(ab) \cap S = [a, b]$ 且 $(ab) \cap \Gamma = {a, b}$。
证明 ：因为 $[a, b] \nsubseteq \Gamma$，所以直线 $(ab)$ 在任何点都不支撑 $S$。那么存在 $S$ 在 $a$ 和 $b$ 处的两条支撑线与直线 $(ab)$ 相交，所以 $(ab) \cap S$ 包含于 $[a, b]$。设 $c \in [a, b] \cap \Gamma$ 且 $c \neq a$，对弦 $[a, c]$ 应用上述证明的第一部分，可得 $(ac) \cap S \subseteq [a, c]$，又因为 $b \in (ac) \cap S$，所以 $b = c$。
引理 2（凸集的切割）
设 $a, b$ 是闭凸集 $S$ 边界 $\Gamma$ 上的两个点，如果 $[a, b] \nsubseteq \Gamma$，那么以 $a$ 和 $b$ 为端点的 $\Gamma$ 的开曲线段 $\sigma_1$，$\sigma_2$ 分别包含在由直线 $(ab)$ 界定的不同开半平面内。
证明 ：设 $H^-$ 和 $H^+$ 是由 $(ab)$ 界定的两个开半平面。因为 $[a, b] \nsubseteq \Gamma$，根据引理 1，$(ab) \cap \Gamma = {a, b}$。由连通性可知，要么 $\sigma_1 \subset H^-$ 要么 $\sigma_1 \subset H^+$，同理 $\sigma_2 \subset H^-$ 或者 $\sigma_2 \subset H^+$。假设 $\sigma_1 \subset H^-$ 且 $\sigma_2 \subset H^-$，那么由 $\sigma_1 \cup \sigma_2 \cup {a, b}$ 界定的 $\mathbb{R}^2$ 的连通子集 $S$ 包含于 $H^- \cup (ab)$，又因为根据引理 1，$(ab) \cap S = [a, b]$，所以 $[a, b] \subset \Gamma$，这产生了矛盾。
引理 3（凸曲线两段的交集）
设 $\Gamma$ 是一条内部为凸集的约旦曲线，$\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 是 $\Gamma$ 的两个不相交的闭线段，$\tau$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的一个向量，那么 $\Gamma_1$ 和 $\tau + \Gamma_2$ 的交集由零个、一个、两个点或一条线段组成。
虽然原文未给出引理 3 的详细证明，但基于前面两个引理，我们可以推测其证明思路：利用凸集的性质以及引理 1 和引理 2 中关于凸集弦和切割的结论，分析 $\Gamma_1$ 和 $\tau + \Gamma_2$ 的位置关系，从而确定它们的交集情况。
下面是一个 mermaid 格式的流程图，展示三个引理之间的依赖关系：
graph TD;
A[引理 1] --> C[引理 3];
B[引理 2] --> C[引理 3];
总结与展望
我们对连续对象在平移下的数字化数量进行了深入研究，得到了两种不同的上限界定方法。
-
指数级上限
：第一种方法给出的上限在对象边界像素数量上是指数级的，不过这种方法存在误判和重复计数的问题，但我们也提到了如何通过一些手段避免这些问题。
-
二次级上限
：第二种方法基于从对偶连通分量计数到曲线交点计数的转换，在凸集情况下，该上限在网格边界大小上是二次的。这表明在凸集情况下，数字化的结构相对简单，我们可以得到更精确的上限估计。
然而，目前的研究还存在一些不足之处，未来的研究方向主要包括以下几个方面：
1.
放宽假设明确上限
：在更宽松的假设（如有界曲率）下明确第二种上限，使得该方法能够应用于更多类型的对象。
2.
研究刚性变换组合学
：研究刚性变换下数字化的组合学，进一步拓展研究的范围。
3.
提出数字化生成算法
：提出数字化生成的算法，为实际应用提供更有效的工具。
下面是一个列表，总结研究的成果和未来展望：
1.
研究成果
- 得到两种数字化数量上限界定方法。
- 明确凸集情况下数字化数量的二次上限。
2.
未来展望
- 在有界曲率等假设下明确第二种上限。
- 研究刚性变换下数字化的组合学。
- 提出数字化生成的算法。
通过这些研究和展望，我们希望能够更好地理解连续对象的数字化过程，为相关领域的应用提供更坚实的理论基础。
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